π = 3.14

Matematica

Modulul unui numar real

Definitie

Modulul numarului real x este numarul \({|x| = \begin{cases} x, daca \: x \ge 0 \\ -x, daca \: x < 0 \end{cases}}\)

Proprietati

1. \({|x| \ge 0, \forall x \in \Bbb R ,   |x| = 0 \iff x = 0;}\)

2.\({|x \cdot y| = |x| \cdot |y|, \forall x,y \in \Bbb R ;}\)

3.\({|x + y| \le |x| + |y|, \forall x,y \in \Bbb R .}\)

Partea intreaga si partea fractionara a unui numar real

Definitie

Fie \({x \in \Bbb R}\). Cel mai mare numar intreg mai mic sau egal cu x se numeste partea intreaga a lui x. Se noteaza: \({[x]= max}\) { \({p \in \Bbb Z | p \le x}\) }.

Numarul real { \({x}\) } = \({x-[x]}\) se numeste partea fractionara a lui x.

Proprietati

1a. \({[x] \le x}\) \({< [x] +1 , \forall x \in \Bbb R ;}\)

1b. \({\{x\}}\) \({\in[0,1),\forall x \in \Bbb R ;}\)

2a. \({x-1 < [x] \le x, \forall x \in \Bbb R ;}\)

2b. \({\{x\}}\) = 0 \({\iff}\) \({x \in \Bbb Z ;}\)

3a. \({[x]=x \iff x \in \Bbb Z ;}\)

3b. \({\{x\}}\) = \({\{y\}}\) \({\iff}\) \({x-y}\) \({\in \Bbb Z}\)

4a. \({[x+n]=[x]+n \iff n \in \Bbb Z ;}\)

4b. {\({x+n}\)} = \({\{x\}}\) \({\iff n \in \Bbb Z}\) .

Identitatea lui Hermite

\({[x] + \biggl[x+\cfrac{1}{n}\biggr] + \biggl[x+\cfrac{2}{n}\biggr] + ... + \biggl[x+\cfrac{n-1}{n}\biggr] = [n-x], \forall x \in \Bbb R , \forall x \in \Bbb N^* \setminus \{1\}}\).

1. Siruri

Definitie

Sirul de numere reale \({ (x_{n})_{n \ge 1}}\) este:

monoton crescator, daca \({ x_{n} \le x_{n+1}}\) pentru orice \({n \ge 1}\);

monoton descrescator, daca \({ x_{n} \ge x_{n+1}}\) pentru orice \({n \ge 1}\);

strict crescator, daca \({ x_{n} < x_{n+1}}\) pentru orice \({n \ge 1}\);

strict descrescator, daca \({ x_{n} > x_{n+1}}\) pentru orice \({n \ge 1}\).

Definitie

Sirul de numere reale \({ (x_{n})_{n \ge 1}}\) este:

marginit inferior, daca exista un numar real m astfel incat \({ (x_{n}) \ge m}\) , \({\forall n \ge 1}\),

marginit superior, daca exista un numar real M astfel incat \({ (x_{n}) \le M}\) , \({\forall n \ge 1}\).

Un sir \({ (x_{n})_{n \ge 1}}\) marginit atat inferior cat si superior se numeste sir marginit.

2. Progresii aritmetice

Definitie

Sirul de numere reale \({ (a_{n})_{n \ge 1}}\) este o progresie aritmetica de ratie r, daca \({a_{n+1} - a_{n} = r}, \forall {n \ge 1}\) (adica diferenta oricaror doi termeni consecutivi este constanta).

Proprietati ale progresiilor aritmetice

1. \({ a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r}, \forall {n \ge 1}\)

2. \({a_{n} = \cfrac {a_{n-1} + a_{n+1}}{2} , \forall n \ge 2}\)

3. \({S_{n}= \cfrac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=na_{1} + r\cfrac{n(n-1)}{2}},\forall {n \ge 1}\), unde \({S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + (a_{n})}\)

4. \({n = \cfrac{a_{n} - a_{1}}{r} + 1}\), \({\forall n \ge 1}\) , r ≠ 0

3. Progresii geometrice

Definitie

Sirul de numere reale nenule \({ (x_{n})_{n \ge 1}}\) este o progresie geometrica de ratie q daca \({b_{n+1}=b_{n} \cdot q}\) (adica raportul oricaror doi termeni consecutivi este constant).

Proprietati ale progresiilor geometrice

1. \({b_{n}=b_{1} \cdot q_{n-1}}, \forall {n \ge 1}\).

2. \({b^2_{n}=b_{n-1} \cdot b_{n+1}}, \forall {n \ge 2}\)

3. \({S_{n}= \begin{cases} b_{1}\cfrac{q^n-1}{q-1}, q ≠ 1 \\ nb_{1}, q = 1 \end{cases}}\) ,unde \({S_{n} = b_{1} + b_{2} + ... + b_{n}}\).

Unelte

Fie A si B doua multimi nevide. Spunem ca \({f:A->B}\) este daca fiecarui element \({x \in A}\) ii corespunde un element \({f(x) \in B}\).

A se numeste domeniul functiei f, iar B se numeste codomeniul functiei f. Doua functii sunt egale daca au acelasi domeniu, acelasi codomeniu si aceiasi lege de definitie.

Graficul functiei \({f:A->B}\) este multimea \({G_{f}=\{(x,f(x))|x \in A\} ⊂ A × B.}\)

Imaginea functiei \({f:A->B}\) sau multimea valorilor functiei f este multimea \({Im f = \{y \in B| ∃ x \in A, f(x)=y\} = \{f(x)|x \in A\}}\).

Observatii

1. \({ M(u,v)\in G_{f} \iff f(u) = v }\).

2. Functia identica a multimii A este \({l_{A}:A->A, l_{A}(x)=x, \forall x \in A}\).

1. Operatii cu functii

Definitie

Fie \({D ⊆ \Bbb R}\) o multime nevida si functiile \({f,g:D-> \Bbb R }\). Atunci:

suma functiilor f si g este functia \({f+g:D->\Bbb R , (f+g)(x)=f(x)+g(x);}\)

produsul functiilor f si g este functia \({f \cdot g:D->\Bbb R , (f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)}\);

daca \({g(x) ≠ 0, \forall x \in D}\), catul functiilor f si g este functia \({\cfrac{f}{g}:D->\Bbb R , \biggl(\cfrac{f}{g}\biggr)(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)}}\).

Compunerea functiilor

Fie \({f:A->B}\) si \({g:B->C}\) doua functii.

Functia \({g \circ f:A->C, (g \circ f)(x)= g(f(x)), \forall x ∈ A}\), se numeste compunerea functiilor g si f.

Observatie

Compunerea functiilor este asociativa, dar nu este comutativa.

2. Monotonia functiilor

Definitie

Fie \({D ⊆ \Bbb R}\) o multime nevida. Functia \({f:D->\Bbb R}\) este monoton (strict) crescatoare daca pentru oricare \({x,y ∈ D, x < y}\) avem \({f(x) \le f(y) (f(x) \lt f(y))}\).

Functia \({f:D-> \Bbb R }\) este monoton (strict) descrescatoare daca pentru orice \({x,y ∈ D, x \lt y}\), avem \({f(x) \ge f(y) (f(x) \gt f(y))}\).

Observatii

1. Daca raportul de variatie \({R_{f}(x,y)= \cfrac{f(x)-f(y)}{x-y} \gt 0, \forall x,y \in D, x\not= y}\), atunci functia \({f}\) este strict crescatoare, iar daca \({R_{f}(x,y) \lt 0, \forall x \not= y}\), atunci \({f}\) este strict descrescatoare.

2. Compunerea a doua functii monotone, de aceeasi monotonie, este o functie crescatoare; compunerea a doua functii monotone, de monotonii diferite, este o functie descrescatoare.

3. Functii pare, impare, periodice

Definitie

Fie D ⊆ \Bbb R o multime nevida centrata in origine \({(\forall x \in D \iff -x \in D)}\).

a. Functia \({f:D-> \Bbb R}\) este functie para daca \({f(-x)=f(x), \forall x \in D}\).

a. Functia \({f:D-> \Bbb R}\) este functie impara daca \({f(-x)=-f(x), \forall x \in D}\).

Proprietati

1. Daca \({f:D->\Bbb R}\) este o functie impara si 0 \in D, atunci \({f(0)=0 \iff O(0,0) \in G_{f}.}\)

2. Suma \({f+g:D-> \Bbb R}\) a doua functii pare (respectiv impare) \({f,g:D-> \Bbb R}\) este tot o functie para(respectiv impara).

3. Produsul/catul a doua functii pare/impare este o functie para. Produsul/catul dintre o functie para si una impara este o functie impara.

4. Compunerea a doua functii pare/impare este o functie para. Compunerea dintre o functie para si una impara este o functie impara.

Definitie

Functia \({f:D-> \Bbb R}\) este periodica cu perioada T daca \({f(x+T)=f(x)}\), pentru orice x \in D pentru care x+T \in D. Cea mai mica perioada pozitiva (daca exista) se numeste perioada principala.

4. Simetrii ale graficului unei functii

Definitie

Dreapta \({x=a}\) este axa de simetrie pentru graficul functiei \({f:D-> \Bbb R}\) daca \({f(a-x)=f(a+x)}\), pentru orice \({x \in D}\) astfel incat \({a-x, a+x \in D}\).

Punctul \({M(a,b) \in xOy}\) este centru de simetrie pentru graficul functiei \({f:D-> \Bbb R}\), daca \({f(a-x)+f(a+x)=2b}\), pentru orice \({x \in D}\), astfel incat \({a-x, a+x \in D}\).

Observatii

1. Graficul unei functii pare este simetric fata de axa Oy.

2. Graficul unei functii impare este simetric fata de origine.

5. Functii injective, surjective, bijective, inversabile

Definitie

Functia \({f:A->B}\) este:

injectiva, daca pentru orice \({x_{1},x_{2} \in A, x_{1} \not= x_{2}}\) avem \({f(x_{1}) \not= f(x_{2})}\);

surjectiva, daca pentru orice \({y \in B}\), exista \({x \in A}\) astfel incat \({f(x)=y}\);

bijectiva, daca este injectiva si surjectiva

Definitie

Functia \({f:A->B}\) este inversabila daca exista o functie \({g:B->A}\) astfel incat \({g ∘ f = l_{A}}\) si \({f ∘ g = l_{B}}\). Notam \({g=f^-1}\) si spunem ca \({f^-1}\) este inversa functiei f.

Observatii

1. Functia \({f:A->B}\) este injectiva daca si numai daca este indeplinita una dintre conditiile:

a. Pnetru orice \({x_{1}, x_{2} \in A}\), astfel incat \({f(x_{1})=f(x_{2})}\), rezolva \({x_{1}=x_{2}}\).

b. Pentru orice \({y \in B}\), ecuatia \({f(x)=y}\) are cel putin o solutie \({x \in A}\).

2. Functia \({f:A->B}\) este surjectiva daca si numai daca este indeplinita una dintre conditiile:

a. \({Im f=B}\)

b. Pentru orice \({y \in B}\), ecuatia f(x)=y are cel putin o solutie \({x \in A}\)

3. Functia \({f:A->B}\) este bijectiva daca oricarui element \({y \in B}\) ii corespunde un unic element \({x \in A}\), astfel incat \({f(x)=y}\).

4. Functia \({f:A->B}\) este inversabila daca exista o functie \({g:B->A}\) astfel incat \({g ∘ f = l_{A}}\) si \({f ∘ g = l_{B}}\). Se noteaza \({g=f_{-1}}\) si se spune ca g este inversa functiei f. Are loc echivalenta \({f(x)=y \iff x=f_{-1}(y)}\), unde \({x \in A}\) si \({y \in B}\).

5. O functie este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

Functia \({f : \Bbb R \rightarrow \Bbb R , f(x) = ax + b (a, b \in \Bbb R , a \not = 0)}\) se numeste functie de gradul 1

Graficul

Graficul functiei \({f : \Bbb R \rightarrow \Bbb R , f(x) = ax + b}\) este o dreapta de panta \({a}\)

Monotonia

Daca \({a \gt 0}\), atunci functia \({f}\) este strict crescatoare.

Daca \({a \lt 0}\), atunci functia \({f}\) este strict descrescatoare

Semnul

\({x}\) \({- \infty }\) \({\cfrac{-b}{a}}\) \({+ \infty }\)
\({f(x)}\) \({- sgn(a)}\) \({0}\) \({sgn(a)}\)

Functia \({f : \Bbb R \rightarrow \Bbb R, f(x) = ax^2 + bx + c \: (a , b , c \in \Bbb R , a \not = 0)}\), se numeste functie de gradul 2.

Forma canonica

\({f(x) = ax^2 + bx + c = a\Biggl[\biggl( x + \cfrac{b}{2a} \biggr) ^2 - \cfrac{\Delta}{4a}\Biggl] , \Delta = b^2 - 4ac}\)

Semnul functiei de gradul 2

1. \({\Delta \lt 0}\)

\({x}\) \({- \infty }\) \({+ \infty }\)
\({f(x)}\) \({sgn(a)}\)

2. \({\Delta = 0}\)

\({x}\) \({- \infty }\) \({\cfrac{-b}{2a}}\) \({+ \infty }\)
\({f(x)}\) \({sgn(a)}\) \({0}\) \({sgn(a)}\)

3. \({\Delta > 0}\)

\({x}\) \({- \infty }\) \({x_1}\) \({x_2}\) \({+ \infty }\)
\({f(x)}\) \({sgn(a)}\) \({0}\) \({-sgn(a)}\) \({0}\) \({sgn(a)}\)

Observatii

1. \({f(x) > 0 , \forall x \in \Bbb R \iff \begin{cases}a \gt 0 \\ \Delta \lt 0 \end{cases}}\)

2. \({f(x) \ge 0 , \forall x \in \Bbb R \iff \begin{cases}a \gt 0 \\ \Delta \le 0 \end{cases}}\)

3. \({f(x) \lt 0 , \forall x \in \Bbb R \iff \begin{cases}a \lt 0 \\ \Delta \lt 0 \end{cases}}\)

4. \({f(x) \le 0 , \forall x \in \Bbb R \iff \begin{cases}a \lt 0 \\ \Delta \le 0 \end{cases}}\)

Graficul

Graficul functiei \({f : \Bbb R \rightarrow \Bbb R, f(x) = ax^2 + bx + c}\) este o parabola de varf \({V\biggl(-\cfrac{b}{2a} , -\cfrac{\Delta}{4a}\biggr)}\) si axa de simetrie \({x = -\cfrac{b}{2a}}\), care are ramurile orientate in sus, daca \({a > 0}\) , si in jos, daca \({a < 0}\).

Monotonia si punctele de extrem

1.\({a > 0}\)

\({x}\) \({- \infty }\) \({-\cfrac{b}{2a}}\) \({+ \infty }\)
\({f(x)}\) \({\searrow}\) \({-\cfrac{\Delta}{4a}}\) \({\nearrow}\)


2.\({a \lt 0}\)

\({x}\) \({- \infty }\) \({-\cfrac{b}{2a}}\) \({+ \infty }\)
\({f(x)}\) \({\nearrow}\) \({-\cfrac{\Delta}{4a}}\) \({\searrow}\)


Daca \({a > 0, min f = -\cfrac{\Delta}{4a}}\), care se atinge in punctul de minim \({x = -\cfrac{b}{2a}}\)
Functia f este strict crescatoare pe \({\biggl[-\cfrac{b}{2a} , +\infty \biggr)}\), si strict crescatoare pe \({\biggl(- \infty , -\cfrac{b}{2a} \biggr]}\).

Daca \({a < 0, max f = -\cfrac{\Delta}{4a}}\), care se atinge in punctul de maxim \({x = -\cfrac{b}{2a}}\)
Functia f este strict crescatoare pe \({\biggl[-\cfrac{b}{2a} , +\infty \biggr)}\), si strict crescatoare pe \({\biggl(- \infty , -\cfrac{b}{2a} \biggr]}\).

Relatiile lui Viete

Fie \({x_1, x_2}\) solutiile ecuatiei \({ax^2 + bx + c = 0}\). Atunci \({\begin{cases}x_1 + x_2 = -\cfrac{b}{a} \\ x_1x_2 = \cfrac{c}{a}\end{cases}}\)

Observatii

1. \({x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}\)

\({x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)}\)

2. Ecuatia de gradul 2 cu solutiile \({x_1}\) si \({x_2}\) este \({x^2 - Sx + P = 0}\) , unde \({S = x_1 + x_2}\) si \({P = x_1x_2}\)

Unelte

Functia \({f : \Bbb R \rightarrow R, f(x) = x^n}\) , unde \({, \in \Bbb N , n \ge 2}\) , se numeste functia putere.

Functi \({f : D \rightarrow \Bbb R , f(x) = \sqrt[n]{x}}\), unde \({n \in \Bbb N , n \ge 2}\) , si \({D = \Bbb R}\), daca \({n}\) este impar, respectiv \({D = [0 , + \infty]}\) , daca n este par, se numeste functie radical de ordin n.

Functia radical de ordinul 2 este \({f : [0 , + \infty] \rightarrow \Bbb R , f(x) = \sqrt{x}}\), iar functia radical de ordinul 3 este \({f : \Bbb R \rightarrow \Bbb R, f(x) = \sqrt[3]{x}}\).

Proprietati

1. Functiile \({f , g : [0 , + \infty) \rightarrow [0 , + \infty), f(x) = x^{2n}}\) si \({g(x) = \sqrt[2n]{x}}\) , unde \({n \in \Bbb N^*}\), sunt functii bijective, fiecare fiind inversa celeilalte.

2. Functiile \({f, g : \Bbb R \rightarrow \Bbb R, f(x) = x^{2n + 1}}\) si \({g(x) = \sqrt[2n + 1]{x}}\) , unde \({n \in \Bbb N^*}\), sunt functii bijective, fiecare fiind inversa celeilalte.

3. Functia putere de exponent impar este strict crescatoare pe \({\Bbb R}\). Functia putere de exponent par este strict descrescatoare pe \({(- \infty , 0]}\) si strict crescatoare pe \({[0 , + \infty)}\)

4. Functia radical de ordin impar este strict crescatoare pe \({\Bbb R}\). Functia radical de ordin par este strict crescatoare pe \({[0 , + \infty)}\).

5. Functia radical de ordin impar este convexa pe \({(- \infty , 0]}\) si concava pe \({[0 , + \infty)}\). Functia radical de orin par este concava pe \({[0 , + \infty)}\).

Proprietati ale puterilor

Fie \({a , b \in \Bbb R^* , r,s \in \Bbb Q}\).

1. \({a^0 = 1}\) si \({1^s = 1}\)

2. \({a^r \cdot a^s = a^{r + s}}\)

3. \({(a \cdot b)^s = a^s \cdot b^s}\)

4. \({(a^r)^s = a^{r \cdot s}}\)

5. \({\cfrac{a^r}{a^s} = a^{r - s}}\)

6. \({\biggr(\cfrac{a}{b}\biggl)^s = \cfrac{a^s}{b^s}}\)

7. \({\begin{cases}a > 1,\: a^r \lt a^s \iff r \lt s \\ a \in (0 , 1), \: a^r \lt a^s \iff r \gt s\end{cases}}\)

Proprietate ale radicalilor

Pentru \({a , b \in \Bbb R}\) si \({n , k \in \Bbb N , n , k \ge 3}\) impare sau pentru \({a \in [0 , + \infty) , b \in (0 , + \infty)}\) si \({n , k \in \Bbb N^*}\) numere pare, avem:

1. \({\sqrt[n]{x^n} = x}\)

2. \({\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}\)

3. \({\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}} = \cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} , b \not = 0}\)

4. \({\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}}\)

5. \({a^{\frac{n}{k}} = \sqrt[k]{a^n} , k \ge 2}\)

6. \({\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[n \cdot k]{a}}\)

7. \({\sqrt[n]{a} \lt \sqrt[n]{b} \iff a \lt b}\)

1. Logaritmi

Definitie

Fie \({a > 0 , a \not = 1}\) si \({x > 0}\). Unicul numar real \({y}\) cu proprietatea \({a^y = x}\) se numeste logaritmul numarului \({x}\) in baza \({a}\) si se noteaza \({\log_a^x}\)

Cu alte cuvinte, \({\log_a^x = y}\) daca si numai daca \({a^y = x}\)

Observatii

1. Dca \({a = 10}\), numarul \({\log_{10}^x = \lg x}\) se numeste logaritmul zecimal al lui \({x}\).

2. Daca \({a = e}\), numarul \({\log_e^x = \ln x}\) se numeste logaritmul natural al lui \({x}\)

Proprietatile logaritmilor

1. \({a^{\log_a^x} = x , \forall x > 0}\)

2. \({\log_a^{a^x} = x , \forall x \in \Bbb R}\)

3. \({\log_a^a = 1 , \forall a \gt 0 , a \not = 1}\)

4. \({\log_a^1 = 0 , \forall a \gt 0, a \not = 1}\)

5. \({x^{\log_a^y} = y^{\log_a^x}}\)

Operatii cu logaritmi

1. \({\log_a^x + \log_a^y = \log_a(xy), \forall x , y \gt 0}\)

2. \({\log_a^x - \log_a^y = \log_a\biggl(\cfrac{x}{y}\biggr) , \forall x,y \gt 0}\)

3. \({\log_a^{x^p} = p \log_a^x , \forall x \gt 0 , \forall p \in \Bbb R}\)

4. \({\log_{a^p}x = \cfrac{1}{p}\log_ax, \forall x \gt 0 , \forall p \in \Bbb R^*}\)

Schimbarea bazei unui logaritm

1. \({\log_ax = \cfrac{\log_bx}{\log_ba} , \forall a,b,x \gt 0 , a,b \not = 1}\)

Consecinta: \({\log_ax = \cfrac{\lg x}{\lg a} = \cfrac{\ln x}{\ln a}}\)

2. \({\log_ab \cdot \log_bc = \log_ac , \forall a,b,c \gt 0 , a,b \not = 1}\)

3. \({\log_ab = \cfrac{1}{\log_ba} , \forall a,b \gt 0 , a,b \not = 1}\)

2. Functia exponentiala si functia logaritmica

Functia exponentiala de baza \({a (a \gt 0 , a \not = 1)}\) , este functia \({f : \Bbb R \rightarrow (0 , + \infty) , f(x) = a^x}\)

Functia logaritmica de baza \({a (a \gt 0 , a \not = 1)}\), este functia \({g : (0 , + \infty) \rightarrow \Bbb R , g(x) = \log_ax}\)

Proprietati

1. Functiile exponentiala de baza \({a}\) si logaritmica de baza \({a}\) sunt functii bijective, fiecare fiind inversa celeilalte.

2. Functiile exponentiala de baza \({a}\) si logaritmica de baza \({a}\) sunt functii strict crescatoare, daca \({a \gt 1}\), si strict descrescatoare, daca \({a \in (0 , 1)}\)

3. Functia exponentiala de baza \({a}\) este convexa pentru orice \({a \in (0 , 1)\cup(1 , + \infty)}\)

Functia logaritmica de baza \({a}\) este concava, daca \({a \gt 1}\) si convexa daca \({a \in (0 , 1)}\).

\({\Bbb C = \{z = x +iy | x,y \in \Bbb R\}}\) , unde \({i^2 = -1}\), este multimea numerelor complexe.

Daca \({z = x + iy}\) , unde \({x,y \in \Bbb R}\), numerele reale \({x}\) si \({y}\) se numesc partea reala si respectiv partea imaginara a numarului complex \({z}\); notam \({x = Rez , y = Imz}\)

Elementele multimii \({i \mathbb{R}^{*}=\{i y \mid y \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\}}\) se numesc elemente pur imaginare.

Modulul unui numar complex \({z = x + iy}\) este numarul real \({|z| = \sqrt{x^2 + y^2}}\)

Proprietati

1. \({|z| \geq 0, \forall z \in \mathbb{C} ;|z|=0 \Leftrightarrow z=0}\)

2. \({\left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|, \forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}}\)

3. \({\left|z_{1}+z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|, \forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}}\)

Conjugatul unui numar complex \({z = x + iy}\) este numarul complex \({\overline z = x - iy}\)

Proprietati

1. \({\overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\bar{z}_{2}, \forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}}\)

2. \({z_{1} \cdot z_{2}=\bar{z}_{1} \cdot \bar{z}_{2}, \forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}}\)

3. \({|z|=|\bar{z}|, \forall z \in \mathbb{C} ;}\)

4. \({z \cdot \bar{z}=|z|^{2}, \forall z \in \mathbb{C}}\)

Observatii

1. \({z \in \mathbb{R}}\) daca si numai daca \({\overline z = z}\)

2. \({z \in i\mathbb{R}^* }\) daca si numai daca \({\overline z = -z}\)

Forma trigonometrica a unui numar complex

Pentru orice numar complex nenul \({z = x + iy}\) exista si sunt unice numerele reale \({r \gt 0}\) si \({\varphi \in [0 , 2\pi)}\) astfel incat $$z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$$

Avem \({r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\) si \({\varphi = arctg\biggr(\cfrac{y}{x}\biggl) + k\pi}\), unde \({k = \begin{cases}0, daca \: x \gt 0, y \ge 0 \\ 1, daca \: x \lt 0 \\ 2, daca \: x \gt 0, y \lt 0\end{cases}}\)

Daca \({x = 0}\) si \({y \gt 0}\), atunci \({\varphi = \cfrac{\pi}{2}}\); daca \({x = 0}\) si \({y \lt 0}\) , atunci \({\varphi = \cfrac{3\pi}{2}}\).

Operatii cu numere complexe scrise sub forma trigonometrica

Fie \({z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi) , z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1) , z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)}\). Atunci:

1. \({z_{1} z_{2}=r_{1} r_{2}\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right)}\)

2. \({z^{n}=r^{n}(\cos n \varphi+i \sin n \varphi)}\)

3. \({\cfrac{1}{z}=\cfrac{1}{r}(\cos (-\varphi)+i \sin (-\varphi))}\)

4. \({\cfrac{z_{1}}{z_{2}}=\cfrac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right) .}\)

Fie \({n \in \mathbb{N} , n \ge 2}\). Radacinile de oridnul \({n}\) ale numarului complex \({z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)}\) sunt $$Z_k = \sqrt[n]{r}\biggl(\cos\cfrac{\varphi + 2k\pi}{n} + i \sin\cfrac{\varphi + 2k\pi}{n}\biggr) , k = 0,1,...,n-1$$Radacinile de ordinul \({n}\) ale unitatii formeaza multimea \({U_{n}=\left\{z \in \mathbb{C} \mid z^{n}=1\right\}=\left\{\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n} \mid k=0,1, \ldots, n-1\right\}}\)

2. Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie

A1. Formula distantei dintre doua puncte: \({MN = |Z_M - z_N|}\)

A2. Patrulaterul \({ABCD}\) este paralelogram daca si numai daca \({z_A + z_C = z_B + z_D}\)

A3.Fie punctele \({O(0), A(a), C(c), D(d)}\) in planul \({xOy}\). Atunci:

a. \({m(\widehat{A O B})=\arg \cfrac{b}{a} ;}\)

b. \({m(\widehat{B A C})=\arg \cfrac{c-a}{b-a} ;}\)

c. \({m(\widehat{A B, C D})=\arg \cfrac{d-c}{b-a}}\)

d. \({A B \| C D \Leftrightarrow \cfrac{d-c}{b-a} \in \mathbb{R}^{*}}\)

e. \({A B \perp C D \Leftrightarrow \cfrac{d-c}{b-a} \in i \mathbb{R}^{*}}\)

f. \({A , B , C}\) sunt colineare daca si numai daca \({\cfrac{b - a}{c - a} \in \mathbb{R}^*}\)

g. \({A , B , C , D}\) sunt conciclice sau coliniare daca \({\cfrac{b-a}{c-a}: \cfrac{b-d}{c-d} \in \mathbb{R}^{*}}\)

A4.Fie \({A(a) , B(b) , C(c) , A'(a') , B'(b') , C'(c')}\). Atunci:

a.Triungiurile la fel orientate \({ABC}\) si \({A'B'C'}\) sunt asemenea daca \({\cfrac{b^{\prime}-a^{\prime}}{c^{\prime}-a^{\prime}}=\cfrac{b-a}{c-a} .}\)

b.Triungiurile invers orientate \({ABC}\) si \({A'B'C'}\) sunt asemenea daca \({\cfrac{b^{\prime}-a^{\prime}}{c^{\prime}-a^{\prime}}=\cfrac{\overline b- \overline a}{ \overline c- \overline a} .}\)

Observatie. Triunghiul \({ABC}\) este pozitiv orientat daca sensul \({A-B-C}\), parcurs pe cercul circumscris triunghiului \({ABC}\), coincide cu sensul direct trigonometric. In caz contrar, triunghiul \({ABC}\) este negativ orientat.

A5. Fie \({R_M^a}\) rotatia de centru \({M}\) si unghi \({\alpha}\). Consideram punctele \({A(a), B(b), C(c)}\). Atunci:

a. Daca \({B = R_O^a(A)}\), atunci \({b = a(\cos \alpha + i\sin \alpha)}\)

b. Daca \({C = R_A^a(B)}\), atunci \({c - a = (b - a)(\cos \alpha + i\sin \alpha)}\).

Unelte

1. Probleme de numarare

Pentru orice \({n \in \mathbb{N}^*}\), se noteaza cu \({n! = 1\cdot 2 \cdot ... \cdot n}\) si \({0! = 1}\).

Numarul submultimilor unei multimi finite cu \({n}\) elemente este \({2^n}\).

Regula sumei. Daca un obiect \({A}\) poate fi ales in \({m}\) moduri, iar un obiect \({B}\) poate fi ales in \({n}\) moduri, astfel incat nicio alegere a lui \({A}\) sa nu coincida cu vreo alegere a lui \({B}\), atunci alegerea lui \({A}\) sau \({B}\) poate fi realizata in \({M + n}\) moduri.

Regula produsului. Daca un obiect \({A}\) poate fi ales in \({m}\) moduri, iar pentru fiecare astfel de alegere, un obiect \({B}\) se poate alege in n moduri, atunci alegerea perechii \({A, B}\) poate fi realizata in \({m \cdot n}\) moduri.

Principiul includerii si al excluderii. \({\operatorname{card}(A \cup B)=\operatorname{card} A+\operatorname{card} B-\operatorname{card}(A \cap B)}\)

2. Elemente de combinatorica

O submultime ordonata cu \({k}\) elemente a multimii \({A}\) este un \({k}\)-uplet \({\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right) \in \underbrace{A \times \ldots \times A}_{k \text { ori }},}\), in care \({x_i \not = x_j}\), pentru orice \({i,j = \overline{1,k} , i \not = j}\)

Permutari. Fie \({A = {a_1 , a_2 , ... , a_n}}\) o multime cu \({n}\) elemente. O permutare a multimii \({A}\) este o multime ordonata formata cu cele \({n}\) elemente ale multimii \({A}\). Orice functie bijectiva \({f : A \rightarrow A}\) defineste o permutare a multimii \({A}\).

Numarul permutarilor unei multimi cu \({n}\) elemente este \({P_n = n!}\) (Permutari de \({n}\)). Prin conventie, \({P_0 = 1}\).

Aranjamente. Numarul submultimilor ordonate cu \({k}\) elemente dintr-o multime cu \({n}\) elemente este \({A_n^k = \cfrac{n!}{(n - k)!} = n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k - 1)}\) (aranjamente de \({n}\) luate cate \({k}\))

Combinari. Numarul submultimilor cu \({k}\) elemente dintr-o multime cu \({n}\) elemente este \({C_{n}^{k}=\cfrac{n !}{k !(n-k) !}=\cfrac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1)}{k !}}\) (combinari de \({n}\) luate cate \({k}\))

Proprietati

1. Formula combinarilor complementare: \({C_n^k = C_n^{n - k}}\)

2. Formula de recurenta pentru combinari: \({C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}}\)\({}\)

3. \({C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\ldots+C_{n}^{n}=2^{n}}\)

4. \({C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+\ldots=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+\ldots=2^{n-1}}\)

5. \({k C_{n}^{k}=n C_{n-1}^{k-1} \text { . }}\)

6. \({\cfrac{C_{n}^{k}}{k+1}=\cfrac{C_{n+1}^{k+1}}{n+1}}\)

Observatii.

Fie \({A}\) o multime cu \({n}\) elemente si \({B}\) o multime cu \({m}\) elemente. Atunci:

1. Daca \({n \le m}\), numarul functiilor injective \({f : A \rightarrow B}\) este egal cu \({A_m^n}\)

2. Daca \({m = n}\), numarul functiilor bijective \({f : A \rightarrow B}\) este egal cu \({P_n = n!}\)

3. Daca \({A, B \subset \mathbb{R}}\) si \({n \le m}\), numarul functiilor strict crescatoare/descrescatoare \({f : A \rightarrow B}\) este egal cu \({C_m^n}\).

3. Binomul lui Newton

\({(a+b)^{n}=C_{n}^{0} a^{n}+C_{n}^{1} a^{n-1} b^{1}+\ldots+C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}+\ldots+C_{n}^{n} b^{n}}\), pentru orice \({a,b \in \mathbb{C}}\) si \({n \in \mathbb{N}^*}\)

1. Dezvoltarea binomiala are \({n + 1}\) termeni

2. Termenul general al dezvoltarii este \({T_{k+1}=C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}}\) (termenul de rang \({k + 1}\)).

3. \({C_n^k}\) se numeste coeficientul binomial al termenului \({T_{k+1}}\)

Unelte

1. Vectori in plan

Regula paralelogramului. In paralelogramul \({ABCD}\) avem \({\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}}\)

Regula triunghiului. In triunghiul \({ABC}\) avem \({\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}}\)

Consecinta. \({\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}}\), pentru orice punct \({O}\) din plan.

Inmultirea vectorilor cu scalar. Pentru \({\overrightarrow{u}}\), un vector oarecare din plan, si pentru un numar real \({k}\), k\overrightarrow u este un vector cu aceeasi directie ca si \({\overrightarrow u}\), si modul egal cu \({|k| \cdot |\overrightarrow u|}\), si care are acelasi sens cu \({\overrightarrow u}\), pentru \({k \gt 0}\), si sens opus lui \({\overrightarrow u}\), pentru \({k \lt 0}\).

Teorema medianei. (forma vectoriala). Punctul \({M}\) este mijlocul segmentului \({[AB]}\) daca si numai daca, pentru orice punct \({O}\) din plan, avem \({\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OM}}\).

Punctul care imparte un segment intr-un raport dat. Pentru un punct \({M \in AB}\), astfel incat \({\overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}}\), avem \({\overrightarrow{O M}=\cfrac{1}{1-k} \overrightarrow{O A}-\cfrac{k}{1-k} \overrightarrow{O B}}\), pentru orice punct \({O}\) din plan.

Relatia lui Leibniz. Punctul \({G}\) este centrul de greutate al triunghiului \({ABC}\) daca si numai daca \({\overrightarrow{OA} + \overrightarrow[OB] +\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}}\), pentru orice punct \({O}\) din plan.

Relatia lui Sylvester. Fie \({H}\) si \({O}\) ortocentrul, respectiv cadrul cercului circumscris triunghiului \({ABC}\). Atunci \({\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}\).

Produsul scalar dintre vectorii \({\overrightarrow u}\) si \({\overrightarrow v}\) este \({\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = |\overrightarrow u| \cdot |\overrightarrow v| \cot \cos(\widehat{\overrightarrow u , \overrightarrow v})}\)

Proprietatile produsului scalar

1. \({\vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u} ;}\)

2. \({\vec{u} \cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w} ;}\)

3. \({\vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{u} \perp \vec{v}}\)

4. \({\cos (\widehat{\vec{u}, \vec{v}})=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|}}\)

5. \({\vec{u} \cdot \vec{v} \gt 0 \Leftrightarrow(\widehat{u}, \vec{v}) \lt \cfrac{\pi}{2}}\)

6. \({\vec{u} \cdot \vec{v} \lt 0 \Leftrightarrow(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) \gt \cfrac{\pi}{2}}\)

2. Vectori in planul \({xOy}\)

Un vector \({\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}}\) are coordonatele \({(x , y)}\); scriem \({\vec u(x,y)}\)

Proprietati importante

Fie \({\overrightarrow u(x , y)}\) si \({\overrightarrow v(x' , y')}\) doi vectori din planul \({xOy}\). Atunci:

1. \({|\vec{u}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

2. \({\vec{u}(x, y)=\vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \Leftrightarrow x=x^{\prime}, y=y^{\prime} .}\)

3. \({\vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime} .}\)

4. \({\vec{u}(x, y) \perp \vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \Leftrightarrow x x^{\prime}+y y^{\prime}=0 .}\)

5. \({\cos (\widehat{\vec{u}, \vec{v}})=\cfrac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}} .}\)

6. \({\vec{u}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \| \vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \Leftrightarrow \frac{x}{x^{\prime}}=\frac{y}{y^{\prime}}}\)

7. Vectorul de pozitie al punctului \({A(x_A , y_A) \in xOy}\) este \({\vec{r}_{A}=x_{A} \vec{i}+y_{A} \vec{j}}\)

8. Pentru doua puncte \({A}\) si \({B}\) din planul \({xOy}\) avem \({\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\overrightarrow i + (y_B - y_A)\overrightarrow j}\)

Fie \({d}\) o dreapta in planul \({xOy}\). Panta unei drepte \({d}\) este tangenta unghiului format de dreapta cu semiaxa pozitiva \({Ox}\). Ecuatia generala a unei drepte \({d}\) este \({d: \: ax + by + c = 0}\)

Proprietati importante

1. Dreapta care trece prin punctul \({A(x_A, y_A)}\) si are panta data \({m}\) are ecuatia \({d: \: y - y_A = m(x - x_A)}\)

2. Daca dreapta \({d}\) are ecuatia \({d: \: y = mx + n}\), atunci \({m}\) este panta dreptei \({d}\).

3. Daca dreapta \({d}\) are ecuatia \({d: \: ax + by + c = 0}\), atunci panta dreptei \({d}\) este egala cu \({m = -\cfrac{b}{a}, b\not = 0}\).

4. Doua drepte sunt paralele daca si numai daca au pantele egale, adica \({d_1 || d_2 \Leftrightarrow m_1 = m_2}\)

5. Doua drepte \({d_1}\) si \({d_2}\) sunt perpendiculare daca si numai daca \({m_1 \cdot m_2 = -1}\).

6. Distanta dintre punctul \({A(x_A, y_A)}\) si dreapta \({d: \: ax + by + c = 0}\) este $$d(A,d) = \cfrac{|ax_A + by_B + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

7. Dreptele \({d_1: \: a_1x + b_1y + c_1 = 0}\) si \({d_2: \: a_2x + b_2y + c = 0}\) coincid daca \({\cfrac{a_1}{a_2} = \cfrac{b_1}{b_2} = \cfrac{c_1}{c_2}}\).

8. Dreptele \({d_1: \: a_1x + b_1y + c_1 = 0}\) si \({d_2: \: a_2x + b_2y + c = 0}\) sunt paralele (si neegale) daca \({\cfrac{a_1}{a_2} = \cfrac{b_1}{b_2}\not = \cfrac{c_1}{c_2}}\)

9. Fie \({A(x_A , y_A)}\) si \({B(x_B , y_B)}\). Ecuatia dreptei \({AB}\) scrisa cu ajutorul determinantului este \({AB: \: \begin{vmatrix}x & y & 1 \\ x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1\end{vmatrix} = 0}\)

10. Fie \({A(x_A , y_A) , B(x_B , y_B) , C(x_C , y_C)}\).

Aria triunghiului \({ABC}\), scrisa cu ajutorul determinantului, este egala cu \({S_{ABC} = \cfrac{1}{2}|\Delta|}\), unde \({\Delta = \begin{vmatrix}x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1\end{vmatrix}}\)

11. Punctele \({A(x_A , y_A) , B(x_B , y_B) , C(x_C , y_C)}\) sunt coliniare daca si numai daca \({\Delta = 0}\).

1. Elemente de trigonometrie

Cercul trigonometric este un cerc de raza 1, cu centrul in originea reperului cartezian. Axa \({Ox}\) se numeste axa cosinusurilor iar axa \({Oy}\) se numeste axa sinusurilor

Formule trigonometrice fundamentale

Pentru urmatoarele formule consideram numerele reale \({a ,b}\) astfel incat sa aiba sens urmatoarele formule:

1. Formula fundamentala a trigonometriei: \({\sin^2a + \cos^2 = 1}\)

2. Reducerea la primul cadran:

2.1. \({\sin\biggl(\cfrac{\pi}{2} - a\biggl) = \cos a, \: \cos\biggl(\cfrac{\pi}{2} - a\biggr) = \sin a, \: tg\biggl(\cfrac{\pi}{2} - a\biggr) = ctg a, \: ctg\biggl(\cfrac{\pi}{2} - a\biggr) = tg a}\)

2.2. \({\sin(\pi - a) = \sin a , \: cos(\pi - a) = -\cos a , \: tg(\pi - a) = -tg a , \: ctg(\pi - a) = -ctg(a)}\)

2.3. \({\sin(\pi + a) = -\sin a, \: \cos(\pi + a) = -\cos a, \: tg(\pi + a) = tg a, \: ctg(\pi + a) = ctg a}\)

2.4. \({\sin(2\pi - a) = -\sin a, \: cos(2\pi - a) = \cos a, \: tg(2\pi - a) = -tg a , \: ctg(2\pi - a) = -ctg a}\)

3. Paritatea functiilor trigonometrice: $$\sin (-a) = - \sin a , \: \cos (-a) = \cos a , \: tg(-a) = -tga , \: ctg(-a) = -ctga$$

4. Periodicitatea functiilor trigonometrice. Pentru orice \({k \in \Bbb Z}\) avem: $$\sin(2k\pi + a) = \sin a, \: \cos (sk\pi + a) = \cos a , \: tg(k\pi + a) = tga , \: ctg(k\pi + a) = ctga$$

5. \({\cos (a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b , \: \sin (a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b}\)

6. \({\sin 2a = 2 \sin a \cos a , \: \cos 2a = \cos^2a - \sin^2 a = 1 - 2\sin^2 a = 2\cos^2 a - 1}\)

7. \({tg(a \pm b) = \cfrac{tga \pm tgb}{1 \mp tga \cdot tgb} \: , \: tg(2a) = \cfrac{2tga}{1 - tg^2a}}\)

8. \({\sin^2a = \cfrac{1 - \cos (2a)}{2}, \: \cos^2a = \cfrac{1 + \cos (2a)}{2}}\)

9. Transformarea sumelor in produse si a produselor in sume:

a. \({\sin a \pm \sin b = 2 \sin \cfrac{a \pm b}{2} \cos \cfrac{a \mp b}{2}}\)

b. \({\cos a + \cos b = 2 \cos \cfrac{a + b}{2}\cos\cfrac{a - b}{2}}\)

c. \({\cos a - \cos b = -2 \sin\cfrac{a + b}{2}\sin\cfrac{a - b}{2}}\)

d. \({\sin a \sin b = \cfrac{1}{2}[\cos (a - b) - \cos (a + b)]}\)

e. \({\cos a \cos b = \cfrac{1}{2}[\cos (a - b) + \cos (a + b)]}\)

f. \({\sin a \cos b = \cfrac{1}{2}[\sin (a - b) + \sin (a + b)]}\)

10. Pentru \({t = tg\biggl(\cfrac{a}{2}\biggr)}\), avem: $$\sin a = \cfrac{2t}{1 + t^2}, \: \cos a = \cfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \: tga = \cfrac{2t}{1 - t^2} , \: a\not = k\pi , \forall k \in \Bbb Z$$

2. Aplicatii ale trigonometriei si ale produsului scalar in geometria plana

Consideram triunghiul \({ABC}\) cu notatiile cunoscute: \({a = BC , \: b = AC}\) si \({c = AB , \: R }\) - raza cercului circumscris triunghiului, \({p}\) - semiperimetrul triunghiului \({ABC}\), iar \({r}\) - raza cercului inscris.

Teorema cosinusului. In orice triunghi \({ABC}\) avem \({a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A}\)

Teorema sinusurilor. In orice triunghi \({ABC}\) avem \({\cfrac{a}{\sin A} = \cfrac{b}{\sin B} = \cfrac{c}{\sin C} = 2R}\)

Formule pentru aria triunghiului. Daca notam \({S_{ABC}}\) aria triunghiului \({ABC}\), avem: $$S_{ABC} = \cfrac{a \cdot h_a}{2} = \cfrac{ab\sin C}{2} = \cfrac{abc}{4R} = pr$$, unde \({h_a}\) este inaltimea corespunzatoare laturii \({a}\)

Formula lui Heron: \({S_{ABC} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}\)

Formule pentru triunghiul dreptunghic. Daca triunghiul \({ABC}\) este dreptunghic cu ipotenuza \({BC}\), avem: \({S_{ABC} = \cfrac{bc}{2} = \cfrac{a \cdot h_a}{2}, \: h_a = \cfrac{bc}{a}}\) iar mediana din \({A}\) este \({m_a = \cfrac{1}{2}BC}\)

Formule pentru triunghiul echilateral. Daca triunghiul \({ABC}\) este echilateral cu latura \({a}\), avem: \({S_{ABC} = \cfrac{a^2\sqrt{3}}{4}, \: R = \cfrac{a\sqrt{3}}{3}, \: r = \cfrac{a\sqrt 3}{6}}\); mediana din \({A}\) este \({m_a = h_a = \cfrac{a\sqrt 3}{2}}\)

3. Functii trigonometrice inverse si ecuatii trigonometrice

Functia arcsin: \({[-1 , 1] \rightarrow \biggl[-\cfrac{\pi}{2} , \cfrac{\pi}{2}\biggr]}\) este inversa functiei \({\sin : \biggl[-\cfrac{\pi}{2} , \cfrac{\pi}{2}\biggr] \rightarrow [-1 , 1]}\).

Proprietati

1. \({\sin x = y \Leftrightarrow x = \arcsin y , \: x \in \biggl[-\cfrac{\pi}{2} , \cfrac{\pi}{2}\biggr], \: y \in [-1 , 1]}\)

2. \({\arcsin (\sin x) = x , \forall x\in \biggl[-\cfrac{\pi}{2} , \cfrac{\pi}{2}\biggr] ; \: \sin (\arcsin y) = y , \forall y\in [-1 , 1]}\)

3. \({\arcsin (-x) = - \arcsin x , \forall x \in [-1 , 1]}\)

4. Pentru \({x \in \Bbb R}\), ecuatia \({\sin x = y}\) are solutii doar daca \({y \in [-1 , 1]}\), iar multimea solutiilor este egala cu \({\{(-1)^k \arcsin y + k\pi | k \in \Bbb Z\}}\)

5. Daca \({\sin f(x) = \sin g(x)}\), atunci \({f(x) = (-1)^kg(x) + k\pi, k \in \Bbb Z}\)

Functia arccos: \({[-1 , 1] \rightarrow [0 , \pi]}\) este inversa functiei \({\cos : [0 , \pi] \rightarrow [-1 , 1]}\)

Proprietati

1. \({\cos x = y \Leftrightarrow x = \arccos y, x\in [0 , \pi] , y \in [-1 , 1]}\)

2. \({\arccos (\cos x) = x , \forall x \in [0 , \pi]; \: \cos (\arccos y) = y , \forall y \in [-1 , 1]}\)

3. \({\arccos (-x) = \pi - \arccos x, \forall x \in [-1 , 1]}\)

4. Pentru \({x \in \Bbb R}\), ecuatia \({\cos x = y}\) are solutii doar daca \({y \in [-1 , 1]}\) , iar multimea solutiilor este egala cu \({\{\pm \arccos y + 2k\pi | k\in \Bbb Z\}}\)

5. Daca \({\cos f(x) = \cos g(x)}\), atunci \({f(x) = \pm g(x) + 2k\pi , k \in \Bbb Z}\)

6. \({\arcsin x + \arccos x = \cfrac{\pi}{2} , \forall x \in [-1 , 1]}\)

7. \({\sin (\arccos x)= \cos (arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}, \forall x \in [-1 , 1]}\)

Functia arctg: \({\Bbb R \rightarrow \biggl(-\cfrac{\pi}{2} , \cfrac{\pi}{2}\biggr)}\) ste inversa functiei \({tg : \biggl(-\cfrac{\pi}{2} , \cfrac{\pi}{2}\biggr) \rightarrow \Bbb R}\)

Proprietati

1. \({tg x = y \Leftrightarrow x = arctg y, x \in \biggl(-\cfrac{\pi}{2} , \cfrac{\pi}{2}\biggr), y\in \Bbb R}\)

2. \({arctg(tgx) = x , \forall x \in \biggl(-\cfrac{\pi}{2} , \cfrac{\pi}{2}\biggr); \: tg(arctg y) = y, \forall y \in \Bbb R}\)

3. \({arctg(-x) = -arctg(x), \forall x \in \Bbb R}\)

4. Pentru \({x \in R}\) ecuatia \({tg x = y}\) are solutii pentru orice \({y \in \Bbb R}\), iar multimea solutiilor este egala cu \({\{arctg y + k\pi | k\in \Bbb Z\}}\)

5. Daca \({tg f(x) = tg g(x)}\), atunci \({f(x) = g(x) + k\pi ,k \in \Bbb Z}\)

Functia arcctg: \({\Bbb R \rightarrow (0 , \pi)}\) este invrsa functiei \({ctg : (0 , \pi) \ rightarrow \Bbb R}\)

Proprietati

1. \({ctg x = y \Leftrightarrow x = arctg y , x \in (0 , \pi), y \in \Bbb R}\)

2. \({arcctg(ctg x) = x , \forall x \in (0 , \pi); \: ctg(arcctg y) = y, \forall y \in \Bbb R}\)

3. \({arcctg(-x) = \pi - arcctg x , \forall x \in \Bbb R}\)

4. Pentru \({x \in R}\), ecuatia \({ctg x = y}\) are solutii pentru orice \({y \in \Bbb R}\), iar multimea solutiilor este egala cu \({\{arcctg y + k\pi | k\in\Bbb Z\}}\)

5. Daca \({ctg f(x) = ctg g(x)}\) , atunci \({f(x) = g(x) + k\pi, k\in \Bbb Z}\)

6. \({arctg x + arcctg x = \cfrac{\pi}{2}, \forall x \in \Bbb R}\)

7. \({tg(arcctg x) = \cfrac{1}{x}}\) si \({ctg(arctg x) = \cfrac{1}{x}, \forall x \in \Bbb R^*}\)

Definitia 1

Fie n un numar natural nenul.

O functie bijectiva \({T. \{1 , 2 , ... , n\} \rightarrow \{1 , 2 , ... , n\}}\) se numeste permutare de grad \({n}\).

Multimea permuarilor de grad n contine \({n!}\) elemente si se noteaza \({S_n}\).

Inmultirea permutarilor

Fie T si R doua permutari de grad n. Permutarea T \({\circ}\) R, unde "\({\circ}\)" este operatia de compunere a functiilor , se numeste produsul permutarilor T si R si se noteaza TR.

Proprietati

1. Inmultirea proprietatilor este asociativa.

2. Permutarea \({e = \begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n \\ 1 & 2 & ... & n \end{pmatrix}}\) are proprietatea \({Te = eT = T}\), pentru orice \({T \in S_n}\) , si se numeste permutare identica.

3. Daca \({T \in S_n}\) atunci permutarea \({\begin{pmatrix} T(1) & T(2) & ... & T(n) \\ 1 & 2 & ... & n \end{pmatrix} \in S_n}\) se noteaza \({T^{-1}}\), se numeste inversa permutarii \({T}\) si are proprietatea \({TT^{-1} = T^{-1}T = e}\)

Inversiuni, semnul unei permutari

Se numeste inversiune a permutarii \({T \in S_n}\) o pereche ordonata \({(i , j) \in \{1 , 2 , ... , n\} \times \{1 , 2 , ... , n\} }\) , cu \({i < j}\) si \({T(i) > T(j)}\)

Numarul inversiunilor unei permutari \({T}\) se noteaza \({m(T)}\), iar numarul \({(-1)^{m(T)}}\) se noteaza \({\varepsilon (T)}\) si se numeste semnul permutarii \({T}\).Daca \({varepsilon (T) = 1}\) (deci \({m(T) este par}\)) , atunci \({T}\) se numeste permutare para , iar daca \({\varepsilon (T) = -1}\) , se numeste permutare impara.

Proprietati

4. \({\varepsilon (TR) = \varepsilon (T) \cdot \varepsilon (R)}\) , oricare ar fi \({T , R \in S_n}\)

\({\varepsilon (e) = 1}\)

\({\varepsilon (T^{-1}) = \varepsilon (T)}\) , oricare r fi \({T \in S_n}\)

Definitia 3

Fie \({i , j \in \{1 , 2 , 3 , ... , n \} }\) cu \({i \not = j}\). Permutarea \({T \in S_n}\) cu proprietatile \({T(i) = j , T(j) = i}\) si \({T(k) = k}\) , pentru orice \({k \in \{1 , 2 , 3 , .. , n\} - \{i , j\}}\) se numeste transpozitie si se noteaza \({(ij)}\)

Proprietati

7. \({(ij) = (ji)}\)

8. \({(ij)^{-1} = (ij)}\)

9. \({(ij)^2 = e}\)

10. Orice transpozitie este o permutare impara

In cele ce urmeaza , \({S}\) reprezinta una dintre multimile \({Z , Q , R}\) sau \({C}\), iar \({m}\) si \({n}\) sunt doua numere naturale nenule.

Definitia 1

O functie \({A : \{1 , 2 , ... , m\} \times \{1 , 2 , ... , n\} \Rightarrow S}\) se numeste matrice cu \({m}\) linii si \({n}\) coloane (sau de tip (\({m}\) , \({n}\))) , cu elemente din multimea \({S}\)

Imaginile unei astfel de functii se aseaza intr-un tablou (tablou de tip matriceal) cu m linii si n coloane, in care elementul de pe linia i si coloana j reprezinta imaginea perechii \({(i , j)}\) prin functia \({A}\), element care se noteaza \({a_{ij} \in S}\).

Operatii cu matrice

1. Adunarea matricelor: Fie \({A , B \in M_{m , n}(S) , A = (a_{ij}) , B=(b_{ij})}\). Matricea \({(a_{ij} + b_{ij}) \in M_{m , n}(S)}\) se numeste suma matricelor \({A}\) si \({B}\) si se noteaza \({A + B}\)

2. Inmultirea cu scalari: Fie \({A = (a_{ij}) \in M_{m , n}(S)}\) si \({x \in S}\). Matricea \({(xa_{ij}) \in M_{m , n}(S)}\) se numeste produsul matricei \({}\) cu scalarul \({x}\) si se noteza \({xA}\)

3. Inmultirea matricelor: Fie \({A = (a_{ij}) \in M_{m , n}(S)}\) si \({B = (b_{jk}) \in M_{m , p}(S)}\). Matricea \({(c_{ik}) \in M_{m , p}(S)}\), unde \({c_{ik} = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + ... + a_{in}b_{nk}}\) pentru orice \({i \in \{1 , 2 , ... , m\}}\) si \({k \in \{1 , 2, ... , p\}}\), se numeste produsul matricei A cu matricea B si se noteaza AB.

Proprietati

Daca operatiile de mai jos au sens , atunci:

1. \({(AB)C = A(BC)}\) deci inmultirea matricelor, acolo unde are sens, este asociativa.

2. \({A(B + C) = AB + AC}\) si \({(B + C)A = BA + CA}\) , deci inmultirea matricelor este distributiva fata de adunarea matricelor.

3. Inmultirea matricelor este operatie algebrica pe multimea \({M_n(S)}\), adica produsul \({AB}\) are sens pentru orice \({A , B \in M_n(S)}\) si , in acest caz, \({A , B \in M_n(S)}\)

4. Matricea \({I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & 1 \\ \end{pmatrix} \in M_n(S)}\) are proprietatea \({AI_n = I_nA = A}\), oricare ar fi \({A \in M_N(S)}\) , si se numeste matricea unitate.

Transpusa unei matrice: Transpusa matricei \({A = (a_{ij}) \in M_{m,n}(S)}\) este matricea \({A^t = (b_{ij}) \in M_{n , m}(S)}\) , unde \({b_{ji} = a_{ij}}\) pentru orice \({i \in \{1 , ... , m\}}\) si \({j \in \{1 , ... , n\}}\)

Teorema Hamilton-Cayley : Fie \({A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \in M_2(S)}\). Atunci \({A^2 - (a + d)A + (ad - bc)I_2 = O_2}\) , unde \({O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}}\)

Definitia 1.

Fie \({A = (a_{ij}) \in M_n(S)}\). Numarul \({ \underset{T \in S_n}{\sum} \varepsilon (T)a_{1T(1)}a_{2T(2)}...a_{nT(n)} }\) se numeste determinantul matricei \({A}\) si se noteaza cu \({det(A)}\) sau : $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$$

Un determinant de ordin \({n}\) este determinntul unei matrice patratice de ordin \({n}\)

Determinanti de ordin doi : \({\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}}\).

Determinanti de ordin trei : \({\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}}\)

Proprietati

Fie \({A \in M_n(S)}\). Atunci:

1. \({det(A) = det(A^t)}\). Datorita acestei propozitii , orice proprietate a unui determinant referitore la linii este adevarata si pentru coloane.

2. Daca \({A}\) are o linie cu toate elementele egale cu 0, atunci \({det(A) = 0}\)

3. Daca matricea \({B}\) se obtiune din \({A}\) prin schimbarea locului a doua linii , atunci \({det(B) = -det(A)}\).

4. Daca \({A}\) are doua linii egale, atunci \({det(A) = 0}\)

5. Daca \({B}\) se obtine din \({A}\) prin inmultirea elementelor unei linii cu un numar \({\alpha \in S}\), atunci \({det(B) = det(A)}\).

6. Daca \({B}\) se obtine din \({A}\) prin dunarea liniei \({i}\) cu linia \({j}\) inmultita cu un numar \({\alpha \in S}\) , atunci \({det(B) = det(A)}\).

7. \({\Delta_{ij}}\) (minorul \({(ij)}\)) este determinantul matricei obtinuta din \({A}\) prin suprimarea liniei \({i}\) si coloanei \({j}\). Numarul \({\omega_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot \Delta_{ij}}\) se numeste complementul algebric al elementului \({a_{ij}}\) din matricea \({A}\). Atunci \({det(A) = a_{i1}\omega_{i1} + a_{i2}\omega_{i2} + .. + a_{in}\omega_{in}}\) (Dezvoltarea dupa linia i a determinantului de ordin n)

8. \(det(AB) = det(A) \cdot det(B)\), oricare ar fi \(A , b \in M_n(S)\).

Aplicatii ale determinantilor

Ecuatia unei drepte determinate de doua puncte

Ecuatia dreptei \(AB\) unde \(A(x_1 , y_1)\) si \(B(x_2 , y_2)\), este \(\begin{vmatrix}x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1\end{vmatrix} = 0\)

Aria unui triunghi

Pentru punctele \(A(x_1 , y_1), B(x_2 , y_2)\) si \(C(x_3 , y_3)\) se noteaza cu \(\Delta = \begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix}\) si cu \(S_{ABC}\) aria triunghiului \(ABC\). Atunci:

a. \(S_{ABC} = \cfrac{1}{2}|\Delta |\)

b. \(A, B, C\) sunt coliniare \(\Leftrightarrow \Delta = 0\).

Unelte

1. Matrice inversabile

Definitia 1. Matricea \({A \in M_n(\Bbb C)}\) se numest inversabila daca exista o matrice \({B \in M_n(\Bbb C)}\) astfel incat \({AB = BA = I_n}\).
Daca pentru o matrice \({A}\) exista o matrice \({B}\) cu proprietatea din definitie, atunci \({B}\) este unia matrice cu aceasta proprietate, se noteaza cu \({A^{-1}}\) si se numeste invrsa matricei \({A}\).

Teorema 1. Matricea \({A \in M_n(\Bbb C)}\) este inversabila daca si numai daca \({det(A) \not = 0}\)

Calculul inversei unei matrice. Pentru \({A \in M_n(\Bbb C)}\), se noteaza cu \({A^*}\) matricea transpusa a complementilor algebrici ai elementelor matricei \({A}\). Matricea \({A^*}\) se numeste adjuncta lui \({A}\).
Daca \({det(A) \not = 0}\), atunci \({A^{-1} = \cfrac{1}{det(A)}A^*}\)

Observatii. Fie \({A \in M_n(\Bbb C)}\) o matrice inversabila.

1. Daca \({A \in M_n(\Bbb R)}\), atunci \({A^{-1} \in M_n(\Bbb R)}\)

2. Daca \({A \in M_n(\Bbb Q)}\), atunci \({A^{-1} \in M_n(\Bbb Q)}\)

3. Daca \({A \in M_n(\Bbb Z)}\), atunci \({A^{-1} \in M_n(\Bbb Q)}\), adica matricea \({A^{-1}}\) nu are neaparat elemente intregi.

2. Ecuatii matriceale

Fie \({A \in M_n(\Bbb C), \: B \in M_n(\Bbb C)}\), doua matrice inversabile si \({C \in M_{m,n}(\Bbb C)}\). Atunci:

a. Ecuatia \({AX = C, X \in M_{m , n}(\Bbb C)}\), are solutia unica \({X = A^{-1}C}\)

a. Ecuatia \({XB = C, X \in M_{m , n}(\Bbb C)}\), are solutia unica \({X = CB^{-1}}\)

a. Ecuatia \({AXB = C, X \in M_{m , n}(\Bbb C)}\), are solutia unica \({X = A^{-1}CB^{-1}}\)

Sisteme liniare

Definitia 2. Sistemul $$\begin{cases}a_{11}x_1 + a{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2, \: m,n \in \Bbb N^*, a_{ij} \in \Bbb C, b_i \in \Bbb C\\ --------------- \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m\end{cases}$$ se numeste sistem liniar cu \({m}\) ecuatii si \({n}\) necunoscute (sau de tip \({(m , n)}\))
Prin solutie a sistemului intelegem un \({n}\)-uplu ordonat \({(x_1 , x_2 , ... , x_n) \in \Bbb C^n}\), cu proprietatea ca numerele \({x_1 , x_2, ... , x_n}\) verifica cele \({m}\) ecuatii ale sistemului. Matricea \({A = (a_{ij}) \in M_{m , n}(\Bbb C)}\) (adica matricea coeficientilor necunoscutelor) se numeste matricea sistemului.

Definitia 3. Un sistem liniar de tip \({(m , n)}\) si matrice \({A}\) se numeste sistem Cramer daca \({m = n}\) si matricea sistemului este inversabila.

Teorema 2. Un sistem Cramer are solutie unica. Solutia \({(x_1 , x_2, ... , x_n)}\) a unui sistem Cramer se determina astfel: \({x_1 = \cfrac{\Delta_1}{\Delta}, x_2 = \cfrac{\Delta_2}{\Delta} , ... , x_n = \cfrac{\Delta_n}{\Delta}}\), unde \({\Delta}\) este determinantul matricei \({A}\) a sistemului, iar \({\Delta_i}\) este determinantul matricei obtinute din \({A}\) prin inlocuirea coloanei "i" cu coloana b = \({\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_n\end{pmatrix}}\) a termentilor liberi.

Rangul unei matrice

Fie \({A \in M_{m , n}(\Bbb C)}\) si \({1 \le k \le min(m , n)}\). Un determinant obtinut din determinantul lui \({A}\) prin suprimarea a \({m - k}\) linii si \({n - k}\) coloane se numest minor de ordinul \({k}\) al matricei \({A}\).

Definitia 4. Fie \({A \in M_{m , n}(\Bbb C), A \not = O_{m , n}}\), si \({l \le r \le min(m , n)}\). Numarul \({r}\) se numeste rangul lui \({A}\) daca:

a. Exista un minor nenul de ordinul \({r}\)

b. toti minorii de ordin stric mai mare decat \({r}\) (daca exista) sun nuli.

Rangul matricei \({O_{m , n}}\) este \({0}\).

Proprietati

1. \({r = rang(A) \Leftrightarrow}\) exista un minor nenul de ordin \({k}\) si toti minorii de ordin \({r + 1}\) (daca exista) sunt nuli.

2. \({r = rang(A) \Leftrightarrow}\) exista \({\Delta}\), un minor nenul de ordin \({r}\) si toti bordatii lui \({\Delta}\) (daca exista) sun nuli. (Un bordat al lui \({\Delta}\) este un minor de ordinul \({r + 1}\) obtinut din adaugarea la \({\Delta}\) a elementelor unei linii si ale unei coloane disponibile din \({A}\)).

Sisteme liniare

Definitia 5. Un sistem liniar se numeste compatibil daca are solutii. Daca solutia este unica, el se numste compatibil detrminat, iar in caz contrar compatibil nedetrminat. Un sistem liniar fara solutii se numeste incompatibil.
Daca \({A}\) este matricea unui sistem liniar cu coloana termenilor liberi \({b = \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_n\end{pmatrix}}\), atunci matricea obtinuta prin adaugarea la \({A}\) a coloanei \({b}\) se noteaza \({\overline A}\) si se numeste matricea extinsa a sistemului.

Teorema 2. (Kronecker-Capelli) Un sistem liniar de matrice \({A}\) este compatibil daca si numai daca \({rang(A) = rang(\overline A)}\)

Stabilirea compatibilitatii

Fie un sistem liniar de tip \({(m , n)}\).

Se determina \({r = rang(A)}\) si fie \({\Delta_p}\) un minor nenul de ordin \({r}\) (minor principal)

Daca \({r \lt m}\), se calculeaza bordatii lui \({\Delta_p}\) cu elementele fiecarei linii disponibile din \({A}\) si coloana termenilor liberi (minorii caracteristici). Atunci \({rang(\overline A) = rang(A) \Leftrightarrow }\) toti minorii caracteristici sunt nuli (Teorema lui Rouche).

Rezolvara sistemelor compatibile

Fie un sistem liniar de tip \({(m , n)}\) si matrice \({A}\), \({r = rang(a)=rang(\overline A)}\) si \({\Delta_p}\) un minor principal al lui \({A}\).

Liniile (coloanele) corespunzatoare lui \({\Delta_p}\) se numesc linii(coloane) principale ale lui \({A}\). Restul se numesc linii (coloane) secundare.

Ecuatiile corespunzatoare liniilor secundare se numesc ecuatii secundare si se suprima.

Necunoscutele corespunzatoare coloanelor secundare se numesc necunoscute secundare si se trec in membrul drept ca parametri.

Pentru fiecare valoare a parametrilor se obtine un sistem Cramer care se rezolva.

Daca \({r = n}\) atunci sistemul nu are necunoscute secundare si este compatibil determinat. In caz contrar este compatibil nedeterminat.

Sisteme omogene

Definitia 6. Un sistem liniar se numeste omogen daca toti termenii liberi sun nuli.

Proprietati. Fie un sistem liniar de tip \({(m , n)}\) de matrice \({A}\)

3. Un sistem omogen este compatibil. El are solutia \({x_1 = x_2 = ... = x_n = 0}\), numita solutia nula.

4. Un sistem omogen are solutii nenule \({\Leftrightarrow}\) este compatibil nedeterminat \({\Leftrightarrow rang(A) \lt n\}\)

5. Daca \({m = n}\), atunci sistemul are solutii nenule \({\Leftrightarrow det(A) = 0}\)

Metoda lui Gauss

Sistemele liniare \({(S)}\) si \({(P)}\) cu acelasi numar de necunoscute se numesc echivalente daca au aceleasi solutii.

Deoarece schimbarea locului ecuatiilor intr-un sistem liniar \({(S)}\) transforma sistemul intr-unul echivalent putem presupune ca \({a_{11} \not = 0}\). Pentru fiecare \({i \in {2 , 3 , ... , m}}\), inmultim prima ecuatie cu \({-\cfrac{a_{i1}}{a_{11}}}\) si o adunam cu ecuatia \({"i"}\). In acest fel, in ecuatiile \({2 , 3 , ... , m}\) necunoscuta \({x_1}\) are coeficientul \({0}\).

Pastram prima ecuatie si continuam procedeul, atat cat este posibil, pentru celelalte necunoscute. Se obtine in final un sistem pentru care stabilirea compatibilitatii este imediata.

1. Grupuri

In cele ce urmeaza, \({G}\) reprzinta o multime nevida.

Definitia 1. Se numeste lege de compozitie interna (operatia algebrica) pe \({G}\) o functie \({"*" : G \times G \rightarrow G}\).

Pentru fiecare pereche \({(a , b) \in G \times G}\), imaginea \({*\bigl((a , b)\bigr)}\) se noteaza \({a * b}\)

Perechea \({(G , *)}\) reprezinta o multime nevida \({G}\) si o lege de compozitie interna \({"*"}\) pe \({G}\).

Definitia 2. Fie \({(G , *)}\). O submultime nevida \({H}\) a lui \({G}\) se numeste parte stabila a lui \({G}\) in raport cu legea \({"*"}\) daca \({x*y \in H}\), oricare ar fi \({x , y \in H}\).

Daca \({G = \{a_1 , a_2 , ... , a_n\}}\) este o multime finita si \({"*"}\) o lege de compozitie interna pe \({G}\), matricea \({(a_{ij})_{1 \le i , j \le n}}\) cu \({a_{ij} = a_i * a_j}\) se numeste tabla operatiei \({"*"}\) pe \({G}\).

Definitia 3. Perechea \({(G , *)}\) se numeste grup daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

a. Legea \({"*"}\) este asociativa, adica \({(x * y) * z = x * (y * z)}\), oricare ar fi \({x , y , z \in G}\).

b. Legea \({"*"}\) are element neutru, adica exista \({e \in G}\) astfel incat \({x * e = e * x = x}\), oricare ar fi \({x \in G}\).

c. Toate elementele lui G sunt simetrizabile, adica pentru orice \({x \in G}\) exista \({x' \in G}\) astfel incat \({x * x' = x' * x = e}\). (\({x'}\) se numeste simetricul lui \({x}\)).

Grupul \({(G , *)}\) se numeste grup comutativ (abelian), daca legea \({"*"}\) este comutativa, adica \({x * y = y * x}\), oricare ar fi \({x,y \in G}\).

Definitia 4. Fie \({(G_1 , *)}\) si \({(G_2 , \circ)}\) doua grupuri. O functie \({f : G_1 \rightarrow G_2}\) se numeste morfism de grupuri (sau simplu morfism) daca \({f(x * y) = f(x) \circ f(y)}\), oricare ar fi \({x , y \in G}\).

Daca morfismul \({f : G_1 \rightarrow G_2}\) este functie bijectiva atunci \({f}\) se numeste izomorfism. In aces caz spunem ca cele doua grupuri sunt izomorfe.

Proprietatea 1

Daca \({(G_1 , *) , (G_2 , \circ)}\) sunt doua grupuri si \({f : G_1 \rightarrow G_2}\) este morfism, atunci:

a. \({f(e_1) = e_2}\), unde \({e_1}\) si \({e_2}\) sunt elementele neutre din \({G_1}\) si respectiv \({G_2}\).

b. \({f(x') = (f(x))'}\), oricare ar fi \({x \in G}\), unde \({x'}\) este simetricul lui \({x}\) in \({G_1}\) , iar \({(f(x))'}\) este simetricul lui \({f(x)}\) in \({G_2}\).

Definitia 5. Fie grupul \({(G , *)}\) si \({H}\) o submultime nevida a lui \({G}\). \({H}\) se numeste subgrup al grupului \({(G , *)}\) daca:

a. \({x * y \in H}\), oricare ar fi \({x , y \in H}\)

\({x' \in H}\), oricare ar fi \({x \in H}\) , unde \({x'}\) este simetricul lui \({x}\) in grupul \({G}\).

Proprietati

Fie grupul \({(G , *)}\) si \({H \subset G , H \not = \varnothing}\).

2. Daca \({H}\) este subgrup al grupului \({(G , *)}\), atunci \({(H , *)}\) este grup si cele doua grupuri au acelasi element neutru.

3. \({H}\) este subgrup al grupului \({(G , *)}\) daca si numai daca \({x * y' \in H}\), oricare ar fi \({x , y \in H}\), unde \({y'}\) este simetricul lui \({y}\) in grupul \({G}\).

4. Daca \({H}\) este multime finita, atunci \({H}\) este subgrup al grupului \({(G , *)}\) daca si numai daca \({H}\) este parte stabila a lui \({G}\) in raport cu legea \({"*"}\).

In cele ce urmeaza, \({(G , \cdot)}\) este grup finit, adica \({G}\) este multime finita.

Teorema lui Lagrange. Daca \({H}\) este subgrup a lui \({G}\), atunci numarul elementelor lui \({H}\) divide numarul elementelor lui \({G}\).

Proprietatea 5. Fie \({x \in (G , \cdot)}\). Exista un numar natural nenul \({n}\) astfel incat \({x^n = e}\), unde \({e}\) este elementul neutru al grupului \({G}\), si \({x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{n \text{ ori}}}\)

Definitia 6. Fie \({x \in G}\). Cel mai mic numar natural nenul \({k}\) cu proprietatea ca \({x^k = e}\) se numeste ordinul lui \({x}\) in \({G}\) si se noteaza \({ord(x)}\).

Proprietati.

Fie \({(G , \cdot)}\), un grup finit cu \({n}\) elemente, \({x \in G}\), si \({k = ord(x)}\).

6. \({x^p = e , \: p \in \Bbb Z \Leftrightarrow k|p}\)

7. \({H(x) = \{e , x , x^2 , ... , x^{k - 1}\}}\) este subgrup al lui \({G}\), cu \({k}\) elemente.

8. \({k | n}\)

9. \({x^n = e}\)

2. Inele si corpuri

In cele ce urmeaza, \({A}\) reprezinta o multime nevida, iar \({"*"}\) si \({"\circ "}\) sunt doua legi de compozitie interne pe \({A}\).

Definitia 7. Tripletul \({(A , * , \circ)}\) se numeste inel daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

1. \({(A , *)}\) este grup comutativ.

2.1 Legea \({"\circ "}\) este asociativa.

2.2 Legea \({"\circ "}\) are element neutru.

3. Legea \({"\circ "}\) este distributiva fata de legea \({"*"}\), adica \({x \circ (y * z) = (x \circ y)*(x \circ z)}\) si \({(x * y) \circ z = (x \circ z) * (y \circ z)}\), oricare ar fi \({x , y , z \in A}\).

Inelul \({(A , * , \circ)}\) se numeste inel comutativ daca legea \({"\circ "}\) este comutativa.

Definitia 8. Inelul \({(A , + , \cdot)}\) se numeste corp, daca \({0_A \not = 1_A}\) si orice \({x \in A , \: x\not = 0_A}\) este simetrizabil in raport cu inmultirea.

Simetricul elementului \({x \in A - \{0_A\}}\) in raport cu inmultirea se noteaza \({x^{-1}}\) si se numeste inversul lui \({x}\).

Definitia 9. Fie inelele \({(A_1 , + , \cdot)}\) si \({(A_2 , + , \cdot)}\). O functie \({f : A_1 \rightarrow A_2}\) se numeste morfism de inele daca:

a. \({f(x + y) = f(x) + f(y)}\), oricare ar fi \({x , y \in A_1}\).

b. \({f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)}\), oricare ar fi \({x , y \in A_1}\).

c. \({f(1_{A_1}) = 1_{A_2}}\)

In conditiile de mai sus, daca \({A_1}\) si \({A_2}\) sunt corpuri, atunci \({f}\) se numeste morfism de corpuri.

Un morfism de inele \({f}\) se numeste izomorfism daca \({f}\) este functie bijectiva.

Inelul claselor de resturi modulo n

Pentru un numar natural \({n , n \le 2}\), si un numar intreg \({a}\), se noteaza cu a (mod n) restul impartirii lui a la n.

Pentru fiecare \({k \in \{0 , 1 , 2 , ... , n - 1\}}\), multimea \({\{a \in \Bbb Z | a(v) = k\}}\) se noteaza \({\widehat k}\),iar multimea \({\{\widehat 0 , \widehat 1 , \widehat 2 , ... , \widehat{n - 1}\}}\) se noteaza cu \({\Bbb Z_n}\). Inelul \({(\Bbb Z_n , + , \cdot)}\), unde \({\widehat a + \widehat b = \widehat{a + b}}\) si \({\widehat a + \widehat b = \widehat{ab}}\) oricare ar fi \({a , b \in \Bbb Z}\), se numeste inelul claselor de resturi modulo n.

Fie \({x \in \Bbb N , n \le 2}\) si \({a \in \Bbb Z}\). Atunci elementul \({\widehat a}\) este inversabil in \({\Bbb Z_n}\) daca si numai daca \({(a , n) = 1}\). Multimea elementelor inversabile ale inelului \({(\Bbb Z , + , \cdot)}\) se noteaza \({U(\Bbb Z_n)}\). Cum \({U(\Bbb Z_n) = \Bbb Z_n - \{\widehat 0\}}\) daca si numai daca \({n}\) este numar prim, rezulta ca \({(\Bbb Z , + , \cdot)}\) este corp daca si numai daca \({n}\) este numar prim.

1. Siruri de numere reale

Siruri marginite

Sirul \({(x_n)_{n \ge 1}}\) este marginit superior daca exista \({M \in \Bbb R}\) astfel incat \({x_n \le M , \: \forall n \ge 1}\).

Sirul \({(x_n)_{n \ge 1}}\) este marginit inferior daca exista \({m \in \Bbb R}\) astfel incat \({x_n \ge m , \: \forall n \ge 1}\).

Sirul \({(x_n)_{n \ge 1}}\) este marginit daca este marginit inferior si superior.

Observatie. Sirul \({(x_n)_{n \ge 1}}\) este marginit daca exista \({M \gt 0}\) astfel incat \({|x_n| \le M , \: \forall n \ge 1}\).

Siruri monotone

Sirul \({(x_n)_{n \ge 1}}\) este crescator (strict crescator) daca \({x_n \le x_{n + 1}}\) (respectiv \({x_n \le x_{n + 1}}\)), \({\forall n \ge 1}\).

Sirul \({(x_n)_{n \ge 1}}\) este descrescator (strict descrescator) daca \({x_n \gt x_{n + 1}}\) (respectiv \({x_n \gt x_{n + 1}}\)), \({\forall x \ge 1}\).

Limite de siruri

Sirul \({(x_n)_{n \ge 1}}\) are limita \({\lambda \in \overline \Bbb R}\) (scriem \({\lim_{n \rightarrow \infty}\lambda}\)) daca orice vecinatate a lui \({\lambda}\) contine toti termenii sirului incepand de la un anumit rang. Un sir estee convergent daca are limita finita; in caz contrar sirul este divergent.

Daca un sir are limita, atunci orice subsir al sau are aceeasi limita. Un sir care contine doua subsiruri cu limite diferite este divergent.

1. Daca \({(x_n)_{n \ge 1}}\) este un sir strict crescator si nemarginit, atunci \({\lim_{n \rightarrow \infty}\cfrac{1}{x_n} = 0}\)

2.Criteriul majorarii. Fie \({(a_n)_{n \ge 1}}\) un sir cu termeni pozitivi, convergent la zero, si \({(x_n)_{n \ge 1}}\) un sir cu proprietatea ca exista \({\lambda \in \Bbb R}\) astfel incat \({|x_n - \lambda| \le a_n}\), pentru orice \({n \ge 1}\). Atunci \({(x_n)_{n \ge 1}}\) este convergent si \({\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = \lambda}\).

Consecinta. Fie \({(a_n)_{n \ge 1}}\) un sir convergent la zero si \({(x_n)_{n \ge 1}}\) un sir marginit. Atunci \({\lim_{n \rightarrow \infty}a_n x_n = 0}\).

3.Criteriul clestelui. Fie \({(a_n)_{n \ge 1} , (x_n)_{n \ge 1}}\) si \({(b_n)_{n \ge 1}}\) trei siruri astfl incat \({a_n \le x_n \le b_n}\), pentru orice \({n \ge 1}\) si \({\lim_{n \rightarrow \infty}a_n = \lim_{n \rightarrow \infty}b_n}\). Atunci \({\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = \lambda}\).

4.Teorema lui Weierstrass. Orice sir monoton si marginit este convergent.

5.Criteriul raportului. Fie \({(x_n)_{n \ge 1}}\) un sir cu termeni strict pozitivi astfel incat exista limita \({\lim_{n \rightarrow \infty}\cfrac{x_{n + 1}}{x_n} = \lambda}\). Daca \({0 \le \lambda \lt 1}\), atunci \({\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = 0}\), iar daca \({\lambda \gt 1}\), atunci \({\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = +\infty}\).

6.Lema Cesaro-Stolz Fie sirurile \({(a_n)_{n \ge 1}}\) si \({(b_n)_{n \ge 1}}\) astfel incat \({(b_n)_{n \ge 1}}\) este strict crescator si marginit. Daca exista limita \({\lim_{n \rightarrow \infty}\cfrac{a_{n + 1} - a_n}{b_{n + 1} - b_n} = \lambda \in \overline \Bbb R}\), atunci \({\lim_{n \rightarrow \infty}\cfrac{a_n}{b_n} = \lambda}\)

Limite remarcabile

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\cfrac{a_pn^p + a_{p - 1}n^{p - 1} + ... + a_1n + a_0}{b_qn^q + b_{q - 1}n^{q - 1} + ... + b_1n + b_0} = \begin{cases}\infty \cdot sgn\biggl(\cfrac{a_p}{b_q}\biggr),& p \gt q \\ \cfrac{a_p}{b_q},& p = q \\ 0, & p \lt q\end{cases}$$

$$\lim_{n \rightarrow \infty}q^n = \begin{cases}+\infty, & q \gt 1 \\ q, & q = 1 \\ 0, & q \in (-1 , 1) \\ \text{nu exista}, & q \le -1\end{cases}$$

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\biggl(1 + \cfrac{1}{n}\biggr)^n = lim_{n \rightarrow \infty}\biggl(1 + \cfrac{1}{1!} + \cfrac{1}{2!} + ... + \cfrac{1}{n!}\biggr) = e$$

2. Limite de functii

Multimea punctelor de acumulare a unei multime nevide \({D \subset \Bbb R}\) se noteaza \({D'}\).

Functia \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) are limita \({\lambda \in \overline \Bbb R}\) in punctul \({a \in D'}\) (scriem \({\lim_{x \rightarrow a}f(x) = \lambda}\)) daca pentru orice sir \({(x_n)_{b \ge 1} \subset D \ \{a\}}\) astfel incat \({\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = a}\), atunci \({lim_{n \rightarrow \infty}x_n = \lambda}\).

Teorema. Fie \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) o functie elementara si \({a \in D}\). Atunci \({\lim_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)}\).

Criteriul cu limite laterale. Daca \({a \in \Bbb R}\) est punct de acumulare al multimilor \({D \cap (-\infty , a)}\) si \({D \cap (a , +\infty)}\), functia \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) are limita \({\lambda \in \overline \Bbb R}\) in punctul \({a}\) daca si numai daca \({f}\) are limita la stanga si la dreapta in \({a}\) si \({\lim_{x \nearrow a}f(x) = \lim_{x \searrow a}f(x) = \lambda}\)

Limite fundamentale

\({\lim_{x \rightarrow \infty}\biggl(1 + \cfrac{1}{x}\biggr)^x = e; \: \lim_{x \rightarrow 0}(1 + x)^\cfrac{1}{x} = e; \: \lim_{x \rightarrow 0}\cfrac{\sin x}{x} = 1}\)

\({\lim_{x \rightarrow 0}\cfrac{tg x}{x} = 1; \: \lim_{x \rightarrow 0}\cfrac{\arcsin x}{x} = 1; \: \lim_{x \rightarrow 0}\cfrac{arctg x}{x} = 1}\)

\({\lim_{x \rightarrow 0}\cfrac{ln (1 + x)}{x} = 1; \: \lim_{x \rightarrow 0}\cfrac{e^x - 1}{x} = 1; \: \lim_{x \rightarrow 0}\cfrac{a^x - 1}{x} = ln a}\)

\({\lim_{x \rightarrow 0}\cfrac{(1 + x)^r - 1}{x} = r}\)

Asimptote orizontale. Fie \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) astfel incat \({+\infty}\) (respectiv \({-\infty}\)) este punct de acumulare a lui \({D}\). Dreapta de ecuatie \({y = a}\), unde \({a \in \Bbb R}\), este asimptota orizontala la graficul functiei spre \({+\infty}\) (respectiv \({-\infty}\)), daca \({\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = a}\) (respectiv \({\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = a}\))

Asimptot oblice. Fie \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) astfel incat \({+\infty}\), respectiv \({-\infty}\), este punct de acumulare a lui \({D}\). Dreapta de ecuatie \({y = mx + n}\), unde \({m , n \in \Bbb R, m\not = 0}\), este asimptota oblica la graficul functii spre \({+\infty}\) (respectiv spre \({-\infty}\)) daca:

$$\begin{cases}\lim_{x \rightarrow \infty}\cfrac{f(x)}{x} = m \\ \lim_{x \rightarrow \infty}(f(x) - mx) = n\end{cases}$$ si respectiv $$\begin{cases}\lim_{x \rightarrow -\infty}\cfrac{f(x)}{x} = m \\ \lim_{x \rightarrow -\infty}(f(x) - mx) = n\end{cases}$$

Asimptote verticale. Fie \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) si \({a}\) un punct de acumulare a lui \({D}\). Dreapta de ecuatie \({x = a}\) este asimptota verticala la stanga (respectiv dreapta) pentru graficul functiei \({f}\), daca \({\lim_{x \nearrow a}f(x) = \pm \infty}\) (respectiv \({\lim_{x \searrow a}f(x) = \pm \infty}\)).

3. Functii continue

Functia \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) este continua in punctul \({a \in D}\) daca pentru orice sir \({(x_n)_{n \ge 1}\ subset D}\) astfel incat \({\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = a , \lim_{n \rightarrow \infty}f(x_n) = f(a)}\)

Daca \({a \in D \cap D'}\), atunci \({f}\) este continua in \({a}\) daca si numai dac \({\lim_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)}\).

O functie \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) este continua pe \({D}\) daca este continua in fiecare punct \({a \in D}\).

Continuitate laterala. Daca \({a \in D}\) este punt de acumulare pentru \({(-\infty , a)\cap D}\), se spune ca \({f}\) este continua la stanga in \({a}\) daca \({\lim_{x \nearrow a}f(x) = f(a)}\).

Daca \({a \in D}\) este punct de acumulare pentru \({(a , + \infty)\cap D}\), se spune ca \({f}\) este continua la dreapta in \({a}\) daca \({\lim_{x \searrow a}f(x) = f(a)}\).

Functia \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) este continua in punctul \({a \in D \cap D'}\) daca si numai daca \({f}\) este continua la stanga si la dreapta in \({a}\), adica daca si numai daca \({f(a - 0) = f(a + 0) = f(a)}\)

Puncte de discontinuitate. \({a \in D}\) este punct de discontinuitate de speta I al functiei \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) daca \({f}\) are limite laterale finite in \({a}\) si nu este continua in \({a}\). Daca cel putin una dintre limitele laterale nu exista sau este \({+\infty}\), \({a}\) este punct de discontinuitate de speta a II-a.

Operatii cu functii continue. Daca functiile \({f , g : D \rightarrow \Bbb R}\) sunt continue in punctul \({a \in D}\), atunci \({{\alpha f + \beta g} , {(\alpha , \beta \in \Bbb R)}, {f\cdot g}, |f|, max(f, g) , min(f , g)}\) sunt functii continue in \({a}\), iar daca \({g(a) \not = 0}\), atunci \({\cfrac{f}{g}}\) este continua in \({a}\).

Fie functiile \({f : D \rightarrow \Bbb E}\) si \({g : E \rightarrow \Bbb R}\). Daca \({f}\) este continua in \({a \in D}\), iar \({g}\) este continua in \({b = f(a) \in E}\), atunci functia \({g \circ f : D \rightarrow \Bbb R}\) este continua in \({a}\). Avem \({\lim_{x \rightarrow a}g(f(x)) = g\biggl(\lim_{x \rightarrow a}f(x)\biggr)}\).

Proprietatea lui Darboux O functie \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) are proprietatea lui Darboux pe intervalul \({I}\) daca pentru orice \({x_1 , x_2 \in I}\) si orice \({\lambda}\) cuprins intre \({f(x_1)}\) si \({f(x_2)}\), exista \({c \in (x_1 , x_2)}\) astfel incat \({f(c) = \lambda}\).

O functie \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) are proprietatea lui Darboux daca si numai dac imaginea oricarei interval prin functia \({f}\) este tot un interval.

Teorema. Orice functie continua \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) are proprietatea lui Darboux.

Proprietati ale functiilor continue

1. Fie \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) o functie continua astfel incat \({f(a) \cdot f(b) \lt 0}\). Atunci exista \({c \in (a , b)}\) astfel incat \({f(c) = 0}\).

2. O functie continua, care nu se anuleaza pe un interval \({I}\), are semn constant pe \({I}\).

3.Teorema lui Weierstrass O functie continua \({f: [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) este marginita si isi atinge marginile (adica exista \({u , v \in [a , b]}\) astfel incat \({f(u) = min f(x)}\) si \({f(v) = max f(x)}\)).

4. O functie continua \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) este injectiva daca si numai daca este strict monotona.

5. Daca \({f : I \rightarrow J}\) este o functie continua si bijectiva, atunci \({f^{-1} : J \rightarrow I}\) este continua.

4. Functii derivabile

Functia \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) are derivata in punctul \({a \in D\cap D'}\) daca exista limita \({f'(a) = \lim_{x \rightarrow a}\cfrac{f(x) - f(a)}{x - a} \in \overline \Bbb R}\) (numita derivata functiei f in punctul \({x = a}\)).

Daca \({f'(a) \in \Bbb R}\), se spune ca \({f}\) este derivabila in puinctul \({x = a}\). O functie \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) este derivabila pe \({D}\) daca este derivabila in orice punct \({a \in D}\). In acest caz, functia \({x \rightarrow f'(x), x\in D}\), se numeste derivata functiei \({f}\).

Teorema. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Derivate laterale. Daca \({a \in D}\) este punct de acumulare pentru \({(-\infty , a) \cap D}\), se spune ca \({f}\) are derivata la stanga in \({a}\) daca exista limita \({lim_{x \nearrow a}\cfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'_s(a) \in \Bbb R}\)

Daca \({a \in D}\) este punct de acumulare pentru \({(a , +\infty) \cap D}\), se spune ca \({f}\) are derivata la dreapta in \({a}\) daca exista limita \({lim_{x \searrow a}\cfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'_d(a) \in \Bbb R}\)

Functia \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) are derivata in \({a \in D\cap D'}\) daca si numai daca \({f}\) are derivate laterale egale in \({a}\). In aces caz, \({f'_s(a) = f'_d(a) = f'(a)}\).

Interpretarea geometrica a derivatei. Derivata unei functii (derivabile) intr-un punct este egala cu panta tangentei la graficul functiei in acel punct.

Daca \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) este o functie derivabila, atunci ecuatia tangentei la graficul functiei \({f}\) in punctul de abscisa \({x = a}\) este \({y - f(a) = f'(a)(x - a)}\).

Puncte unghiulare, de intoarcere, de inflexiune. Fie \({f : D \rightarrow \Bbb R}\) o functie continua, dar care nu este derivabila in punctul \({x = a}\), insa are derivate laterale in \({a}\). Atunci:

\({a}\) este punct de intoarcere al graficului lui \({f}\) daca \({f'_s(a) = -\infty}\) si \({f'_d(a) = +\infty}\).

\({a}\) este punct unghiular al graficului lui \({f}\) daca cel putin o derivata laterala este finita.

\({a}\) este punct de inflexiune al graficului lui \({f}\) daca \({f'_s(a) = f'_d(a) = \pm \infty}\).

Observatie. Fie \({f : I \rightarrow R}\). Un punct \({a \in I}\) pentru care exista \({r \gt 0}\) astfel incat \({(a - r , a + r) \subset I}\) se numeste punct de inflexiune al functiei \({f}\) daca \({f}\) are derivata in \({a}\) si este convexa pe \({(a - r , a)}\) si concava pe \({(a , a + r)}\) sau invers.

Reguli de derivare. Daca \({u : D \rightarrow E}\) si \({f , g : E \rightarrow \Bbb R}\) sunt functii derivabile, atunci:

1. \({(f + g)' = f' + g'}\)

2. \({(\alpha f)' = \alpha f' , \forall \alpha \in \Bbb R}\)

3. \({(fg)' = f'g + fg'}\)

4. \({\biggl(\cfrac{1}{f}\biggr)' = -\cfrac{f'}{f^2}}\)

5. \({\biggl(\cfrac{f}{g}\biggr) = \cfrac{f'g - fg'}{g^2}}\)

6. \({(f \circ u)' = f'(u) \cdot u'}\)

Observatie. Daca \({u}\) si \({v}\) sunt functii derivabile si \({u \gt 0}\) , atunci functia \({u^v = e^{v ln u}}\) este derivabila si \({(u^v)' = e^{v ln u}\biggl(v'lnu + v\cdot \cfrac{u'}{u}\biggr) = u^v\biggl(v'lnu + v\cfrac{u'}{u}\biggr)}\)

Derivarea functiei inverse. Daca \({f : D \rightarrow E}\) este derivabila, bijectiva si \({f'(a) \not = 0}\), unde \({a \in D}\), atunci \({f^{-1}}\) este derivabila in punctul \({b = f(a)}\) si \({(f^{-1})'(b) = \cfrac{1}{f'(a)}}\)

Formule de derivare a functiilor compuse

1. \({(u^a)' = au^{a - 1} \cdot u' , a\in \Bbb R}\)

2. \({(a^u)' = a^ulna\cdot u', a\gt 0}\)

3. \({(e^u)' = e^u \cdot u'}\)

4. \({(\sqrt{u})' = \cfrac{u'}{2\sqrt{u}}}\)

5. \({(lnu)' = \cfrac{u'}{u}}\)

6. \({(\log_au)' = \cfrac{u'}{ulna}}\)

7. \({(\sin u)' = \cos u \cdot u'}\)

8. \({(\cos u)' = -\sin u \cdot u'}\)

9. \({(tg u)' = \cfrac{u^2}{\cos^2 u}}\)

10. \({(ctg u)' = -\cfrac{u'}{\sin^2 u}}\)

11. \({(\arcsin u)' = \cfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}}\)

12. \({(arctg u)' = \cfrac{u'}{1 + u^2}}\) =

13. \({(\arccos u)' = -\cfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}}\)

14. \({(arctg u)' = -\cfrac{u'}{1 + u^2}}\)

5. Proprietatile functiilor derivabile

Puncte de extrem. Fiind data o functie \({f : D \rightarrow \Bbb R}\), un punct \({a \in D}\) se numeste:

a. Punct de maxim local , daca exista \({U \in \nu (a)}\) astfel incat \({f(x) \le f(a), \forall x \in U \cap D}\)

b. Punct de minim local , daca exista \({U \in \nu (a)}\) astfel incat \({f(x) \ge f(a), \forall x \in U \cap D}\)

Un punct de minim sau maxim local se numeste punct de extrem local al functiei \({f}\). Daca \({a}\) este un punct de extrem local al lui \({f}\) , valoarea \({f(a)}\) se numeste extrem local al functiei \({f}\).

Teorema lui Fermat. Fie \({I}\) un interval deschis si \({a \in I}\) un punct de extrem local al functiei \({f : I \rightarrow \Bbb R}\). Daca \({f}\) este derivabila in punctul \({a}\), atunci \({f'(a) = 0}\).

Consecinta. Daca \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) este o functie derivabila pe un interval deschis \({I}\), atunci punctele de extrem local ale functiei \({f}\) se gasesc printre zerourile derviatei (punctele critice).

Teorema lui Rolle. Fie \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) o functie continua pe \({[a , b]}\), derivabila pe \({(a , b)}\), astfel incat \({f(a) = f(b)}\). Atunci exista \({c \in (a , b)}\) astfel incat \({f'(c) = 0}\).

Consecinte. Fie \({f : I \rightarrow R}\) o functie derviabila pe un interval \({I}\). Atunci:

C1. Intre doua zrouri conmsecutive ale functiei \({f}\) se afla cel putin un zro al derivatei \({f'}\).

C2. Intre doua zerouri consecutive ale derivatei \({f'}\) se afla cel putin un zero al functiei \({f}\).

Teorema lul Lagrange. Fie \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) o functie continua pe \({[a , b]}\) si derivabila pe \({(a , b)}\). Atunci exista \({c \in (a , b)}\) astfel incat \({f'(c) = \cfrac{f(b) - f(a)}{b - a}}\)

Consecinte ale teoremei lui Lagrange

1. O functie derivabila cu derivata nula pe un interval \({I}\) este constanta pe \({I}\).

2. Doua functii derivabile cu derviatele egale pe un intrval \({I}\), difera printr-o constanta pe \({I}\).

3. Fie \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) o functie derivabila.

a. Daca \({f'(x) \ge 0}\) , pentru orice \({x \in I}\) , atunci \({f}\) este crescatoare pe \({I}\)

b. Daca \({f'(x) \le 0}\) , pentru orice \({x \in I}\) , atunci \({f}\) este descrescatoare pe \({I}\)

4. Fie \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) o functie continua pe \({I}\) si \({a \in I}\). Daca \({f}\) este drivabila pe \({I \ \{a\}}\) si exista limita \({\lim_{x \rightarrow a}f'(x) = \lambda \in \overline \Bbb R}\), atunci \({f}\) are derivata in \({x = a}\) si \({f'(a) = \lambda}\)

Teorema lui Cauchy. Daca \({f , g : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) sunt continue pe \({[a , b]}\) si derivabile pe \({(a , b)}\) astfel incat \({g(a) \not = g(b)}\), atunci exista \({c \in (a , b)}\) astfel incat \({\cfrac{f'(c)}{g'(c)} = \cfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}}\).

Teorema lui Darboux. Daca \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) este derivabil pe un interval \({I}\), atunci derivata sa \({f'}\) are proprietatea lui Darboux pe \({I}\).

Rolul derivatei a doua in studiul functiilor. Fie \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) o functie de doua ori derivabila pe un interval \({I}\). Atunci:

a. Daca \({f''(x) \ge 0}\), pentru orice \({x \in I}\), atunci \({f}\) este convexa pe \({I}\)

b. Daca \({f''(x) \le 0}\), pentru orice \({x \in I}\), atunci \({f}\) este concava pe \({I}\)

c. Daca \({a \in Int(I)}\) este un punct de inflexiune al functiei \({f}\), atunci \({f''(a) = 0}\)

Regula lui L'Hospital. Fie \({a , b \in \overline \Bbb R , a \lt b}\) si \({I \subset \Bbb R}\) un interval, cu \({(a , b) \subset I \subset [a , b]}\). Daca \({x _0 \in [a , b]}\) si \({f , g : I \setminus \{x_0\} \rightarrow \Bbb R}\) sunt doua functii cu proprietatile:

a. \({\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0}g(x) = 0}\)

b. \({f}\) si \({g}\) sunt derivabile si \({g'(x) \not = 0 , \forall x \in I \setminus \{x_0\}}\)

c. exista limita \({\lim_{x \rightarrow x_0}\cfrac{f'(x)}{g'(x)} = \lambda \in \overline \Bbb R}\)

atunci exista \({U \in \nu (x_0)}\) astfel ca \({g(x) \not = 0, \forall x \in U \cap I \setminus \{x_0\}}\) si limita \({\lim_{x \rightarrow x_0}\cfrac{f(x)}{g(x)} = \lambda \in \overline \Bbb R}\)

Unelte

Primitive

Definitie. Fie \({I \subset \Bbb R}\) un interval. Spunem ca functia \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) admite primitive daca exista o functie derivabila \({F : I \rightarrow \Bbb R}\) astfel incat \({{F' = f}}\).

Observatii

1. Daca functia \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) admite o primitiva, atunci exista o infinitate de primitive ale sale. Multimea acestor primitive se noteaza cu \({\int f(x) dx}\)

2. Daca \({F : I \rightarrow \Bbb R}\) este o primitiva a functiei \({f : I \rightarrow \Bbb R}\), atunci \({\int f(x)dx = F(x) + C}\), unde \({C}\) este multimea functiilor reale constante.

3. Orice functie continua \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) admite primitive.

4. Orice functie \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) care admite primitive are proprietatea lui Darboux. Daca \({f}\) nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul \({I}\), atunci nu admite primitive pe \({I}\).

5. Daca o functie \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) are un punct de discontinuitate de speta I, atunci \({f}\) nu admite primitive.

Proprietati

Fie \({f , g : I \rightarrow \Bbb R}\) doua functii care admit primitive.

1. Daca functia \({f : I \rightarrow \Bbb R}\) este derivabila pe \({I}\), atunci \({\int f'(x)dx = f(x) + C}\)

2. \({\int (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int f(x)dx + \beta \int g(x)dx}\).

3.Formula de integrare prin parti: \({\int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)dx}\).

Formule utile

1. \({\int a d x=a x+C, a \in \mathbb{R}, D=\mathbb{R}}\)

2. \({\int x^{a} d x=\cfrac{x^{a+1}}{a+1}+C, a \in \mathbb{R} \backslash\{-1\}, D=(0,+\infty) .}\)

2.1. \({\int x d x=\cfrac{x^{2}}{2}+C, D=\mathbb{R}}\)

2.2. \({\int \sqrt{x} d x=\frac{2}{3} x \sqrt{x}+C, D=[0,+\infty) .}\)

2.3. \({\int \sqrt[3]{x} d x=\cfrac{3}{4} x \sqrt[3]{x}+C, D=\mathbb{R}}\)

2.4. \({\int \cfrac{1}{\sqrt{x}} d x=2 \sqrt{x}+C, D=(0,+\infty)}\)

2.5. \({\int \cfrac{1}{\sqrt{x+a}} d x=2 \sqrt{x+a}+C, a \in \mathbb{R}, D=(-a,+\infty) \text { . }}\)

3. \({\int a^{x} d x=\cfrac{a^{x}}{\ln a}+C, a \in(0,+\infty) \backslash\{1\}, D=\mathbb{R} .}\)

3.1. \({\int e^{x} d x=e^{x}+C, D=\mathbb{R}}\)

3.2. \({\int e^{a x} d x=\cfrac{1}{a} e^{a x}+C, a \in \mathbb{R}^{*}, D=\mathbb{R} .}\)

4. \({\int \cfrac{1}{x+a} d x=\ln |x+a|+C, a \in \mathbb{R}, D=\mathbb{R} \backslash\{-a\} .}\)

4.1. \({\int \cfrac{1}{x} d x=\ln |x|+C, D=\mathbb{R}^{\bullet} .}\)

4.2. \({\int \cfrac{1}{a x+b} d x=\cfrac{1}{a} \ln |a x+b|+C, a \in \mathbb{R}^{*}, b \in \mathbb{R}}\)

5. \({\int \cfrac{1}{x^{2}-a^{2}} d x=\cfrac{1}{2 a} \ln \left|\cfrac{x-a}{x+a}\right|+C, a \in \mathbb{R}^{*}, D=\mathbb{R} \backslash\{\pm a\} .}\)

5.1. \({\int \cfrac{x}{x^{2}-a^{2}} d x=\cfrac{1}{2} \ln \left|x^{2}-a^{2}\right|+C, a \in \mathbb{R}^{*}, D=\mathbb{R} \backslash\{\pm a\} .}\)

6. \({\int \cfrac{1}{x^{2}+a^{2}} d x=\cfrac{1}{a} \operatorname{arctg} \cfrac{x}{a}+C a \in \mathbb{R}^{*}, D=\mathbb{R}}\)

6.1. \({\int \cfrac{1}{x^{2}+1c} d x=\operatorname{arctg} x+C, D=\mathbb{R}}\)

6.2. \({\int \cfrac{x}{x^{2}+a^{2}} d x=\cfrac{1}{2} \ln \left(x^{2}+a^{2}\right)+C, a \in \mathbb{R}^{*}}\)

7. \({\int \cfrac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} d x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)+C a \in \mathbb{R}, D=\mathbb{R}}\)

7.1. \({\int \cfrac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} d x=\sqrt{x^{2}+a^{2}}+C, a \in \mathbb{R}^{*}, D=\mathbb{R}}\)

8. \({\int \cfrac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} d x=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|+C, a \in(0,+\infty), D=(-\infty,-a) \cup(a,+\infty) .}\)

8.1. \({\int \cfrac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} d x=\sqrt{x^{2}-a^{2}}+C, a \in \mathbb{R}^{*}, D=(-\infty,-a) \cup(a,+\infty) .}\)

9. \({\int \cfrac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x=\arcsin \cfrac{x}{a}+C, a \in(0,+\infty), D=(-a, a)}\)

9.1. \({\int \cfrac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x=-\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C, a \in \mathbb{R}^{*}, D=(-a, a) .}\)

10. \({\int \sin x d x=-\cos x+C, D=\mathbb{R}}\)

11. \({\int \cos x d x=\sin x+C, D=\mathbb{R}}\)

12. \({\int \operatorname{tg} x d x=-\ln |\cos x|+C, D=\mathbb{R} \backslash\left\{\cfrac{(2 k+1) \pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z}\right\}}\)

13. \({\int \operatorname{ctg} x d x=\ln |\sin x|+C, D=\mathbb{R} \backslash\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\} .}\)

14. \({\int \cfrac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\operatorname{ctg} x+C, D=\mathbb{R} \backslash\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}}\)

15. \({\int \cfrac{1}{\cos ^{2} x} d x=\operatorname{tg} x+C, D=\mathbb{R} \backslash\left\{\cfrac{(2 k+1) \pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z}\right\}}\)

Functii integrabile

Fie \({a , b \in \Bbb R , a \lt b , \Delta = (a = x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt ... \lt x_n = b)}\) o diviziune a intervalului \({[a , b]}\) si \({\xi = (\xi_1 , \xi_2 , ... , \xi_n)}\) cu \({\xi_i \in [x_{i - 1} , x_i] , i \in \{1 , 2 , ... , n\}}\), un sistem de puncte intermediare asociat diviziunii \({\Delta}\). Numarul \({||\Delta|| = max\{|x_i - x_{i - 1}| | i = \overline{1 , n}\}}\) se numestee norma diviziunii \({\Delta}\).

Pentru functia \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) notam \({\sigma(f , \Delta , \xi) = \sum_{i = 1}^nf(\xi_i)(x_i - x_{i - 1})}\), numita si suma Riemann asociata functiei \({f}\), diviziunii \({\Delta}\) si sistemului de puncte intermediare \({\xi}\).

Definitie. Functia \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) st integrabila pe intrvalul \({[a ,b]}\), daca limita \({\lim_{||\Delta || \rightarrow 0}\sigma(f , \Delta , \xi) = \lim_{||\Delta || \rightarrow 0}\sum_{i = 1}^nf(\xi_i)(x_i - x_{i - 1})}\) este finita. Aceasta se noteaza cu \({\int_a^bf(x)dx}\).

Observatii

1. De cele mai multe ori in exercitii intalnim urmatorul caz particular: \({f : [0 , 1] \rightarrow \Bbb R , \Delta = \biggl(0 \lt \cfrac{1}{n} \lt \cfrac{2}{n} \lt ... \lt \cfrac{n}{n} = 1\biggr)}\) - diviziunea echidistanta a intrvalului \({[0 , 1]}\), si sistemul de puncte intermediare \({\xi = (\xi_1 , \xi_2 , ... , \xi_n)}\), cu \({\xi_i = \cfrac{i}{n} \in \biggl[\cfrac{i - 1}{n} , \cfrac{i}{n}\biggr] , i = \overline{1 , n}}\). Daca functia \({f : [0 , 1] \rightarrow \Bbb R}\) este integrabila pe intervalul \({[0 , 1]}\), atunci \({\int_0^1f(x)dx = \lim_{n \rightarrow \infty}\cfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^nf\biggl(\cfrac{i}{n}\biggr)}\)

2. Daca \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) este functie monotona, atunci \({f}\) este integrabila pe intervalul \({[a, b]}\)

3. Daca \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) este functie continua, atunci \({f}\) este integrabila pe intervalul \({[a, b]}\)

4. Daca \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) este functie continuape intervalul \({[a , b]}\),cu exceptia unui numar finit de puncte de discontinuitate de speta I, atunci \({f}\) este integrabila pe intervalul \({[a, b]}\)

Proprietati importante

1. Formula Leibniz-Newton Daca \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) este o functie integrabila car are primitive si \({F}\) este o primitiva oarecare a lui \({f}\), atunci \({\int_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)}\).

2. \({\int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x}\)

3. \({\int_{a}^{b} \lambda f(x) d x=\lambda \int_{a}^{b} f(x) d x, \forall \lambda \in \mathbb{R}}\)

4.Aditivitatea in raport cu un interval. \({\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{e}^{b} f(x) d x, \forall c \in[a, b]}\)

5.Formula de integrare prin parti. Daca in plus functiile \({f}\) si \({g}\) sunt derivabile, cu derivatele functii continue, atunci \({\int_{a}^{b} f^{\prime}(x) g(x) d x=\left.f(x) g(x)\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^b f(x) g^{\prime}(x) d x .}\)

6.Teorema de medie pentru integrale. Daca functia \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) este continua, atunci exista \({c \in (a , b)}\) astfel incat \({\int_{a}^{b} f(x) d x=(b-a) f(c) .}\)

7.Prima formula de schimbare de variabila. Fie functia \({f : J \rightarrow \Bbb R}\) continua si functia \({u : [a , b] \rightarrow J}\) continua, cu derivata continua; atunci \({\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) f(u(x)) d x=\int_{u(a)}^{u(b)} f(t) d t}\)

8.A doua formula de schimbare de variabila. Fie \({\varphi : [c , d] \rightarrow [a , b]}\) o functie bijectiva, \({\varphi , \varphi^{-1}}\) derivabile, \({\varphi '}\) continua si \({\varphi '(t) \not = 0, \forall t \in [c , d]}\). Daca functia \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) este continua pe \({[a , b]}\), atunci \({\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) d t .}\)

9.Derivata unei intgrale. Fie functia continua \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) si \({F : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\), \({F(x) = \int_a^xf(t)dt}\). Atunci functia \({F}\) este o primitiva a functiei \({f}\), adica \({F'(x) = f(x)}\).

9.1 Fie \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) continua si functia \({u : I \rightarrow [a , b]}\) este derivabila cu derivata continua; atunci functia \({F : [a , b] \rightarrow \Bbb R , F(x) = \int_a^xf(t)dt}\) este derivabila si \({F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)}\).

10. Proprietati de monotonie si marginire:

Daca functia \({f : [a , b] \rightarrow [0 , + \infty)}\) ste intgrabila, atunci \({\int_a^bf(x)dx \ge 0}\)

Daca functiile \({f, g : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) sunt integrabile si \({f(x) \le g(x), \forall x \in [a , b]}\), atunci \({\int_a^bf(x)dx \le \int_a^bg(x)dx}\)

Aplicatii ale integralei definite

Fie \({f : [a , b] \rightarrow \Bbb R}\) o functie continua.

11. Aria supraftei plane cuprinsa intre graficul functiei \({f}\) , axa \({Ox}\) si dreptele de ecuatie \({x = a}\) si \({x = b}\) este egala cu \({\int_a^b|f(x)|dx}\)

12. Volumul corpului obtinut prin rotatia graficului functiei \({f}\) in jurul axei \({Ox}\) este egal cu \({V_f = \int_a^bf^2(x)dx}\)

Varianta

Varianta 1 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 2 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 3 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 4 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 5 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 6 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 7 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 8 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 9 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 10 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 11 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 12 - Antrenament

Barem

Varianta

Simulare

Barem

Varianta

Varianta 1 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 2 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 3 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 4 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 5 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 6 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 7 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 8 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 9 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 10 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 11 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 12 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 13 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 14 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 15 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 16 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 17 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 18 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 19 - Antrenament

Barem

Varianta

Varianta 20 - Antrenament

Barem

Varianta

Sesiunea Iunie

Barem

Varianta

Sesiunea August

Barem

Varianta

Sesiunea Speciala

Barem